[论文解读] Onsager's energy conservation for inhomogeneous Euler equations

Robin Ming Chen, Cheng Yu|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 5

一句话总结

本论文为二维和三维非齐次欧拉方程弱解的能量守恒建立了充分条件。通过利用贝索夫型估计分析密度和速度场的正则性，证明了在两个条件下能量守恒：密度空间梯度的可积性（扩展了经典结果）以及速度场时间正则性的增强（允许粗糙的密度分布）。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of energy conservation for the two- and three-dimensional density-dependent Euler equations. Two types of sufficient conditions on the regularity of solutions are provided to ensure the conservation of total kinetic energy on the entire time interval including the initial time. The first class of data assumes integrability on the spatial gradient of the density, and hence covers the classical result of Constantin-E-Titi for the homogeneous Euler equations. The other type of data imposes extra time Besov regularity on the velocity profile, and the corresponding result can be applied to deal with a wide class of rough density profiles.

研究动机与目标

• 解决变密度非齐次欧拉方程弱解中的能量守恒问题。
• 将关于能量守恒的奥恩斯拉猜想推广至非齐次情形，其中密度非齐次性引入了新的分析挑战。
• 识别出保证总动能随时间守恒的密度和速度的充分正则性条件。
• 处理密度为零的真空区域情形，避免假设密度远离零。
• 通过引入速度场的增强正则性，将先前关于均匀流体的结果推广至包含粗糙密度分布的情形。

提出的方法

• 对动量方程进行光滑化，并用正则化后的速度场进行测试，以导出能量恒等式。
• 利用交换子估计控制光滑化过程中出现的非线性项，特别是涉及乘积 $ \rho \mathbf{u} $ 的项。
• 在空间和时间上应用贝索夫空间估计以处理速度场的正则性，特别是 $ \mathbf{u} \in B_p^{\beta,\infty}(0,T; B_q^{\alpha,\infty}(\mathbb{T}^N)) $。
• 通过 $ \varepsilon^{\alpha + 2\beta - 1} $ 的衰减控制时间导数项，要求 $ \alpha + 2\beta > 1 $，以确保收敛至零。
• 利用速度场的无散结构以及 $ \sqrt{\rho} \mathbf{u} $ 在 $ L^2 $ 中的弱连续性，以在任意时刻恢复初始能量。
• 利用引理 2.2 处理涉及 $ (\rho \mathbf{u})^\varepsilon - \rho^\varepsilon \mathbf{u} $ 的交换子估计，得到 $ \varepsilon^\alpha $ 类型的衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种密度和速度场的正则性条件下，非齐次欧拉方程弱解的总动能得以守恒？
• RQ2 当密度不远离零时（即允许存在真空区域），是否仍可建立能量守恒？
• RQ3 速度场的时间正则性如何补偿密度分布粗糙所带来的影响？
• RQ4 在非齐次情形下，能量守恒的正则性（以赫尔德或贝索夫范数表示）的精确临界阈值是什么？
• RQ5 经典奥恩斯拉猜想在均匀流体情形下是否可推广至具有变密度的非齐次情形？

主要发现

• 若密度的空间梯度可积，则能量守恒，该结果恢复了 Constantin-E-Titi 对均匀流体的经典结果。
• 当速度场在贝索夫空间中具有充分的时间正则性时，即 $ \mathbf{u} \in B_p^{\beta,\infty}(0,T; B_q^{\alpha,\infty}(\mathbb{T}^N)) $ 且 $ \alpha + 2\beta > 1 $，即使密度分布粗糙，能量仍守恒。
• 该方法避免了要求密度远离零，因此允许存在真空区域。
• 当 $ \alpha + 2\beta > 1 $ 时，时间交换子项随 $ \varepsilon \to 0 $ 而趋于零，确保了光滑化能量恒等式的收敛性。
• 能量恒等式对所有 $ t \in [0,T] $ 成立，其中 $ \sqrt{\rho} \mathbf{u} \in C([0,T]; L^2) $ 且 $ \sqrt{\rho} \in C([0,T]; L^2_{\text{weak}}) $，确保了弱连续性。
• 该结果适用于二维和三维周期性区域，将奥恩斯拉型能量守恒的适用范围扩展至非齐次流体。