[论文解读] Operads with general groups of equivariance, and some 2-categorical aspects of operads in Cat

Alexander S. Corner, Nick Gurski|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文引入了G-Operads——在任意具有合边的对称张量范畴中具有广义对称群的Operads——推广了对称、辫状及非对称Operads。本文证明了在Cat中的Operads是有限型的，通过近自由群作用刻画了笛卡尔Operads，并表明严格张量范畴的辫状Operads可借助正负最小辫子实现两种不同的伪交换结构，且二者均非对称。

ABSTRACT

We give a definition of an operad with general groups of equivariance suitable for use in any symmetric monoidal category with appropriate colimits. We then apply this notion to study the 2-category of algebras over an operad in Cat. We show that any operad is finitary, that an operad is cartesian if and only if the group actions are nearly free (in a precise fashion), and that the existence of a pseudo-commutative structure largely depends on the groups of equivariance. We conclude by showing that the operad for strict braided monoidal categories has two canonical pseudo-commutative structures.

研究动机与目标

• 在具有合边的对称张量范畴中，发展一种适用于任意对称群的Operads的一般框架。
• 研究在Cat中的Operads的2-范畴结构，特别是其诱导的2-单子。
• 通过群作用性质，刻画在Cat中的Operads为笛卡尔Operads的条件。
• 探究在Cat中的Operads是否存在伪交换结构及其性质。
• 证明辫状严格张量范畴的Operads可装备两种典范的、非对称的伪交换结构。

提出的方法

• 通过作用Operads G = {G(n)}，其中G(n)作用于P(n)，定义G-Operads，推广对称与辫状Operads。
• 使用Day卷积与同伦积分演算，将G-Operads形式化为函子范畴中的幺半。
• 通过分析其底层2-单子结构，证明Cat中的每个Operad都是有限型的。
• 通过范畴论与群论论证，建立Operad为笛卡尔当且仅当其群作用为近自由。
• 通过在辫群中使用正负最小辫子，构造辫状Operad B上的两种伪交换结构。
• 通过Br_N中辫子组合的极小性与正性，验证伪交换公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Cat中的Operad何时为笛卡尔Operad，其群作用结构如何与此相关？
• RQ2 在Cat中的Operad在何种条件下可装备伪交换结构，这又如何依赖于对称群的选择？
• RQ3 辫状严格张量范畴的Operads是否可装备多于一种伪交换结构，且这些结构是否对称？
• RQ4 在Cat中的Operads的2-范畴性质与其1-范畴对应物有何不同？
• RQ5 在辫群设定下，辫子的极小性与正性在验证伪交换公理时起什么作用？

主要发现

• Cat中的每个Operad都是有限型的，即其底层2-单子保持过滤合边。
• 在Cat中的Operad为笛卡尔当且仅当其群作用为近自由，即G(n)在P(n)上的稳定子为平凡或接近平凡。
• 在Cat中的Operad是否具有伪交换结构，高度依赖于对称群的选择，尤其在辫群情况下。
• 辫状严格张量范畴的Operad可装备两种典范的伪交换结构：一种使用正最小辫子，另一种使用负最小辫子。
• 这两种伪交换结构均非对称，因为t_{2,2} = σ₂在Br₄中的阶大于二。
• 证明中使用的辫子组合具有极小性与正性，确保在辫群中相等，从而确认了伪交换公理。