[论文解读] Operational K-theory

Dave Anderson, Sam Payne|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 17

一句话总结

本文将操作性K-理论引入为相干层的格罗滕迪克K₀-理论的对偶bivariant理论，确立其为具有类似操作性查沃理论几何性质的几何稳健不变量。本文证明了若干关键结果，包括A¹-同伦不变性、查沃包络的下降性、完全线性簇的对偶性，以及通过扇形上的分段指数函数显式识别出toric簇的等变操作性K-理论。

ABSTRACT

We study the operational bivariant theory associated to the covariant theory of Grothendieck groups of coherent sheaves, and prove that it has many geometric properties analogous to those of operational Chow theory. This operational K-theory agrees with Grothendieck groups of vector bundles on smooth varieties, admits a natural map from the Grothendieck group of perfect complexes on general varieties, satisfies descent for Chow envelopes, and is A^1-homotopy invariant. Furthermore, we show that the operational K-theory of a complete linear variety is dual to the Grothendieck group of coherent sheaves. As an application, we show that the K-theory of perfect complexes on any complete toric threefold surjects onto this group. Finally, we identify the equivariant operational K-theory of an arbitrary toric variety with the ring of integral piecewise exponential functions on the associated fan.

研究动机与目标

• 开发一种与格罗滕迪克相干层K₀-理论对偶的bivariant操作性K-理论。
• 克服经典K-理论在奇异或非Q-因子化簇上的局限性，其中K₀与K^∘可能不一致且计算困难。
• 建立诸如A¹-同伦不变性、查沃包络的下降性以及完全线性簇的对偶性等几何性质。
• 提供一种可计算且行为良好的理论，以推广和强化经典黎曼-罗赫定理。

提出的方法

• 通过福尔顿和麦克Pherson的一般构造，将操作性K-理论作为与协变K₀-理论相关的bivariant理论来构建。
• 将操作性K-理论的元素定义为由纤维平方索引的算子K₀(Y') → K₀(X')的集合，这些算子与适当的上推、平坦拉回和吉辛映射可交换。
• 证明f-完备复形通过公式[F] ↦ ∑(−1)^i [Tor_i^Y(P_•, F)] 产生此类算子。
• 证明完全线性簇的操作性K-理论通过Kronecker对偶性与相干层的格罗滕迪克群对偶。
• 利用下降性和超包络技术，将toric簇的等变操作性K-理论与扇形上的整值分段指数函数环相联系。
• 使用谱序列和等变超包络计算单纯复形的K-理论，并证明下降同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种与K₀对偶且具备类似操作性查沃理论几何性质的操作性K-理论bivariant理论？
• RQ2 操作性K-理论是否在一般概形上满足A¹-同伦不变性及查沃包络的下降性？
• RQ3 在完全线性簇上，操作性K-理论与K₀之间是否存在对偶性？
• RQ4 能否用其扇形的组合数据显式描述toric簇的等变操作性K-理论？
• RQ5 在完全toric三倍曲面的完美复形的K-理论是否满射到相干层的格罗滕迪克群？

主要发现

• 操作性K-理论具有A¹-同伦不变性并满足查沃包络的下降性，使其在几何操作下表现良好。
• 在光滑簇上，操作性K-理论与K^∘(X)，即向量丛的格罗滕迪克群，一致。
• 对于任意完全线性簇，操作性K-理论与K₀(X)对偶，确立了Kronecker对偶性。
• 任何完全toric三倍曲面的完美复形的K-理论都满射到K₀(X)，解决了关键计算问题。
• toric簇的等变操作性K-理论同构于其扇形上的整值分段指数函数环。
• 该理论自然地从一般簇上完美复形的格罗滕迪克群映射而来，扩展了经典K-理论。