[论文解读] Operator inference for non-intrusive model reduction with quadratic manifolds

Rudy Geelen, Stephen Wright+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 7

一句话总结

本文提出了一种非侵入式模型降尺度框架，通过结合POD得到的线性子空间与二次项，利用多项式映射从高维快照中学习数据驱动的二次流形。通过对该流形应用算子推理，该方法在对流主导PDE问题中实现了优于线性子空间的精度和效率，尤其在因奇异值衰减缓慢而导致线性降尺度失效的情况下表现更优。

ABSTRACT

This paper proposes a novel approach for learning a data-driven quadratic manifold from high-dimensional data, then employing this quadratic manifold to derive efficient physics-based reduced-order models. The key ingredient of the approach is a polynomial mapping between high-dimensional states and a low-dimensional embedding. This mapping consists of two parts: a representation in a linear subspace (computed in this work using the proper orthogonal decomposition) and a quadratic component. The approach can be viewed as a form of data-driven closure modeling, since the quadratic component introduces directions into the approximation that lie in the orthogonal complement of the linear subspace, but without introducing any additional degrees of freedom to the low-dimensional representation. Combining the quadratic manifold approximation with the operator inference method for projection-based model reduction leads to a scalable non-intrusive approach for learning reduced-order models of dynamical systems. Applying the new approach to transport-dominated systems of partial differential equations illustrates the gains in efficiency that can be achieved over approximation in a linear subspace.

研究动机与目标

• 解决在对流主导PDE中，由于Kolmogorov n-宽度衰减缓慢，线性子空间在降阶建模中受限的问题。
• 开发一种可扩展的、非侵入式方法，无需修改原始系统代码或结构即可学习降阶模型。
• 引入一种通过数据驱动的二次项增强线性子空间曲率的二次流形近似，提升逼近能力，且不增加自由度。
• 通过将算子推理与基于快照数据的非线性流形结合，实现高效且基于物理的降阶模型。
• 通过使用结构化、可解释的多项式流形，克服基于神经网络的非线性模型降尺度在可扩展性与可解释性方面的挑战。

提出的方法

• 使用多项式形式构建从高维状态到低维嵌入的非线性映射：由POD计算的线性子空间加上二次项。
• 通过快照数据上的线性回归学习二次项，避免在线或迭代求解器在在线模拟中的使用。
• 通过求解低维流形上的最小二乘问题，利用算子推理识别降阶系统动力学，保持物理结构。
• 将流形学习表述为带ℓ2正则化的优化问题，以促进条件良好性并避免过拟合。
• 应用SpaRSA算法求解二次流形系数的正则化最小二乘问题，实现高效且稳定的计算。
• 将所得的二次流形与算子推理结合，推导出一种非侵入式、基于投影的降阶模型，兼具高精度与计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇异值衰减缓慢的对流主导PDE问题，数据驱动的二次流形是否能相比线性子空间显著提升降阶模型的逼近精度？
• RQ2 如何仅使用快照数据和线性回归，以非侵入、非迭代的方式学习非线性流形？
• RQ3 在流形中引入二次项在多大程度上减少了实现高精度逼近所需的自由度数量？
• RQ4 与现有的非线性模型降尺度技术（如核PCA或神经网络）相比，该方法在精度和效率方面表现如何？
• RQ5 算子推理能否有效应用于非线性流形结构，以保持物理一致性并实现快速在线评估？

主要发现

• 所提出的二次流形方法在对流主导PDE中显著提升了相比线性子空间的逼近精度，尤其在因奇异值衰减缓慢而使线性降尺度失效的问题中表现突出。
• 与线性子空间逼近相比，该方法在更少自由度下实现了更好的收敛性与更低的误差，尤其在强对流问题中表现更优。
• 应用于二次流形的算子推理生成了非侵入式降阶模型，保持了物理一致性，并支持快速在线评估。
• 采用ℓ2正则化最小二乘法与SpaRSA算法确保了学习问题的数值稳定性与条件良好性，即使在流形复杂度增加时亦然。
• 该框架具有可扩展性与泛化能力，无需对原始PDE求解器进行侵入式修改，也无需系统结构的先验知识。
• 在可解释性与计算效率方面，该方法优于现有非侵入式方法，同时在基准对流主导问题上保持了高精度。