[论文解读] Optimal Control of Large-Scale Networks using Clustering Based Projections

Nan Xue, Aranya Chakrabortty|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文提出一种基于聚类的投影方法，用于为大规模网络化系统设计降阶线性二次型调节器（LQR）控制器，显著降低计算和通信成本。通过使用结构化矩阵 $ P $ 将状态投影到聚类中，该方法将 $ \mathcal{H}_2 $-范数误差最小化问题松弛为可处理的优化问题，从而获得一种分层两级控制器，其通信链路数量远少于全阶LQR。

ABSTRACT

In this paper we present a set of projection-based designs for constructing simplified linear quadratic regulator (LQR) controllers for large-scale network systems. When such systems have tens of thousands of states, the design of conventional LQR controllers becomes numerically challenging, and their implementation requires a large number of communication links. Our proposed algorithms bypass these difficulties by clustering the system states using structural properties of its closed-loop transfer matrix. The assignment of clusters is defined through a structured projection matrix P, which leads to a significantly lower-dimensional LQR design. The reduced-order controller is finally projected back to the original coordinates via an inverse projection. The problem is, therefore, posed as a model matching problem of finding the optimal set of clusters or P that minimizes the H2-norm of the error between the transfer matrix of the full-order network with the full-order LQR and that with the projected LQR. We derive a tractable relaxation for this model matching problem, and design a P that solves the relaxation. The design is shown to be implementable by a convenient, hierarchical two-layer control architecture, requiring far less number of communication links than full-order LQR.

研究动机与目标

• 解决在具有数万个状态的大规模网络化系统中设计和实现全阶LQR控制器时面临的计算和通信瓶颈。
• 开发一种模型匹配框架，最小化全阶控制器与投影降阶控制器之间的 $ \mathcal{H}_2 $-范数误差。
• 设计一种低维、可实现的控制器架构，尊重网络化系统的自然聚类结构。
• 实现可扩展的、结构化的控制器设计，在不强制对状态进行人为解耦的情况下保持全局稳定性和动态性能。

提出的方法

• 该方法使用结构化投影矩阵 $ P \in \mathbb{R}^{r \times n} $ 将 $ n $ 个系统状态聚类为 $ r \ll n $ 个非重叠组，将控制器设计维度从 $ n $ 降低至 $ r $。
• 在投影后的 $ r $-维系统上设计降阶LQR控制器，设计矩阵受 $ Q $、$ R $ 和 $ P $ 约束，确保结构一致性。
• 通过逆投影 $ P^T $ 重构全阶控制器，将降阶控制器映射回原始状态空间。
• 通过将非凸的 $ \mathcal{H}_2 $-范数误差最小化问题松弛为两阶段问题，找到最优的 $ P $：先界定误差，再应用低秩逼近。
• 提出三种变体：固定权重下优化聚类分配（使用加权k-means）、固定聚类下优化权重（通过张量的主导特征向量或Z-特征向量）、以及迭代联合优化。
• 所得控制器可通过分层两级架构实现，与全阶LQR相比，显著减少了所需的通信链路。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为大规模网络设计一种降阶LQR控制器，在保持 $ \mathcal{H}_2 $ 性能的同时最小化通信开销？
• RQ2 如何最优地将状态分配到聚类中，使得全阶控制器与投影控制器之间的 $ \mathcal{H}_2 $-范数误差最小化？
• RQ3 在大规模网络化系统中，非凸模型匹配问题的 $ P $-设计是否存在可处理的松弛方法？
• RQ4 控制器设计能否以结构化方式保留网络拓扑中的自然聚类与耦合关系，而无需强制解耦？

主要发现

• 所提方法将控制器实现所需的通信链路数量大幅降低至远低于全阶LQR和稀疏性促进型LQR，从而实现可扩展部署。
• 推导出传递函数失配的 $ \mathcal{H}_2 $-范数误差上界，其表达式为残差投影的Frobenius范数 $ \| (I - P^T P) \Phi^{1/2} \|_F $，提供了定量的性能保证。
• 对于固定聚类分配，最优投影权重可通过可控性Gramian的主导特征向量或张量的 $ Z $-特征向量获得，具体取决于开环稳定性。
• 该方法可通过分层两级控制架构实现，支持模块化和可扩展的控制设计。
• 松弛后的优化问题可获得可处理的解，平衡性能与复杂度，并对 $ \mathcal{H}_2 $ 误差提供了理论界。