[论文解读] Optimal control of nonlinear systems governed by Dirichlet fractional Laplacian in the minimax framework

Dorota Bors|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文通过极小化极大框架，建立了由谱狄利克雷分数阶拉普拉斯控制的非线性系统最优控制的存在性。利用变分方法和凯·法恩定理，证明了弱解的存在性及其对控制的连续依赖性，最终在希尔伯特空间设定下证明了使给定代价泛函最小化的最优控制的存在性。

ABSTRACT

We consider an optimal control problem governed by a class of boundary value problem with the spectral Dirichlet fractional Laplacian. Some sufficient condition for the existence of optimal processes is stated. The proof of the main result relies on variational structure of the problem. To show that boundary value problem with the Dirichlet fractional Laplacian has a weak solution we employ the renowned Ky Fan Theorem.

研究动机与目标

• 建立由谱狄利克雷分数阶拉普拉斯控制的系统最优控制过程的存在性。
• 分析弱解在 $L^p$ 和 $H_0^{\frac{\beta}{2}}$ 拓扑下对控制参数的连续依赖性。
• 在极小化极大框架下，利用凯·法恩定理证明鞍点解的存在性。
• 证明在谱分数阶拉普拉斯设定下，边值问题的适定性。
• 通过稳定性与下半连续性论证，验证使代价泛函最小化的最优控制的存在性。

提出的方法

• 通过有界利普希茨区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, $n \geq 3$ 上的特征函数展开，利用分数阶拉普拉斯 $(-Δ)^{\alpha/2}$ 的谱定义。
• 通过在空间 $H_0^{\alpha/2}(\Omega) \times H_0^{\alpha/2}(\Omega)$ 中将弱解表述为泛函 $F_w(u,v)$ 的临界点，利用问题的变分结构。
• 应用凯·法恩定理，建立作用泛函的鞍点存在性，确保在适当的凸-凹结构下弱解的存在性。
• 通过证明当 $w_k \to w_0$ 在 $L^p$ 中时，$\{(u_k, v_k)\}$ 在 $H_0^{\alpha/2} \times H_0^{\alpha/2}$ 中强收敛，建立解对控制的连续依赖性。
• 利用控制在 $L^p$ 中的弱*或弱收敛性，以及代价泛函 $J$ 的下半连续性，证明最优控制的存在性。
• 通过两个显式例子验证该框架：一个涉及线性耦合项，另一个涉及非线性耦合项，其中 $p \in (3/\alpha, \infty)$ 且 $s \in (1, 6/(3-\alpha))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由谱狄利克雷分数阶拉普拉斯控制、具有非线性耦合与依赖控制项的系统，是否存在最优控制？
• RQ2 在 $L^p$ 拓扑下，分数阶PDE的弱解如何对控制输入连续依赖？
• RQ3 极小化极大框架与凯·法恩定理是否可应用于此非局部、非线性PDE设定中，以证明鞍点解的存在性？
• RQ4 代价泛函 $J(u,v,w)$ 是否关于控制的弱*或弱收敛性以及状态的强收敛性具有下半连续性？
• RQ5 在分数阶索博列夫空间背景下，何种条件可确保边值问题的适定性？

主要发现

• 在给定的变分与谱假设下，对于任意控制 $w \in L^p(\Omega, \mathbb{R}^m)$，其中 $p \in (3/\alpha, \infty)$，边值问题 (3) 至少存在一个弱解。
• 当控制 $w_k$ 收敛于 $w_0$ 于 $L^p$ 时，弱解 $(u_k, v_k)$ 在 $H_0^{\alpha/2} \times H_0^{\alpha/2}$ 中强收敛，从而确立了适定性。
• 代价泛函 $J(u,v,w)$ 关于 $w_k$ 在 $L^\infty$ 中的弱*收敛性与 $(u_k, v_k)$ 的强收敛性具有下半连续性，确保了下确界的实现。
• 存在一个最优控制 $w^*$，使得 $J(u_0, v_0, w_0) = \inf_{(u,v,w) \in \mathcal{D}} J(u,v,w)$，其中 $(u_0, v_0)$ 是对应于 $w^*$ 的解，从而证明了主要的存在性结果。
• 泛函 $F_w(u,v)$ 具有鞍点型结构，并满足凯·法恩定理所要求的条件，从而保证了临界点的存在性。
• 构造了两个显式例子：一个是线性情形，$s \in (1, 6/(3-\alpha))$；另一个是非线性情形，$s \in (1+1/(p-1), 6/(3-\alpha))$，二者均满足主要定理的假设条件。