[论文解读] Optimal Direct Sum and Privacy Trade-off Results for Quantum and Classical Communication Complexity

Rahul Jain, Pranab Kumar Sen+1 more|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用 19

一句话总结

本文建立了单向纠缠辅助量子通信复杂度与单向公共随机性经典通信复杂度的最优直接和定理，表明解决 $ m $ 个关系副本所需的通信量为解决单个副本所需通信量的 $ \Omega(m) $ 倍。通过消息压缩与量子回合消除技术，证明了隐私权衡结果，并将经典下界推广至量子设置，同时表明 Newman 的经典公共随机性约简技术无法推广至量子协议。

ABSTRACT

We show optimal Direct Sum result for the one-way entanglement-assisted quantum communication complexity for any relation f subset of X x Y x Z. We show: Q^{1,pub}(f^m) = Omega(m Q^{1,pub}(f)), where Q^{1,pub}(f), represents the one-way entanglement-assisted quantum communication complexity of f with error at most 1/3 and f^m represents m-copies of f. Similarly for the one-way public-coin classical communication complexity we show: R^{1,pub}(f^m) = Omega(m R^{1,pub}(f)), where R^{1,pub}(f), represents the one-way public-coin classical communication complexity of f with error at most 1/3. We show similar optimal Direct Sum results for the Simultaneous Message Passing quantum and classical models. For two-way protocols we present optimal Privacy Trade-off results leading to a Weak Direct Sum result for such protocols. We show our Direct Sum and Privacy Trade-off results via message compression arguments which also imply a new round elimination lemma in quantum communication. This allows us to extend classical lower bounds on the cell probe complexity of some data structure problems, e.g. Approximate Nearest Neighbor Searching on the Hamming cube {0,1}^n and Predecessor Search to the quantum setting. In a separate result we show that Newman's technique of reducing the number of public-coins in a classical protocol cannot be lifted to the quantum setting. We do this by defining a general notion of black-box reduction of prior entanglement that subsumes Newman's technique. We prove that such a black-box reduction is impossible for quantum protocols. In the final result in the theme of message compression, we provide an upper bound on the problem of Exact Remote State Preparation.

研究动机与目标

• 建立单向纠缠辅助量子通信复杂度与单向公共随机性经典通信复杂度的最优直接和定理。
• 证明双向量子与经典协议的隐私权衡结果，从而导出弱直接和结果。
• 通过量子回合消除技术，将经典数据结构问题（如 ANN、前驱查找）的下界推广至量子设置。
• 证明 Newman 的经典公共随机性约简技术无法推广至量子设置。
• 利用消息压缩技术，为精确远程态制备（ERSP）问题提供一个新的上界。

提出的方法

• 使用消息压缩论证，推导出量子与经典通信模型中的直接和与隐私权衡结果。
• 在量子通信中应用一种新颖的回合消除引理，将经典下界转移至量子协议。
• 利用子空间定理与纯化技术，分析量子态制备与远程态制备问题。
• 利用 Jozsa-Uhlmann 引理对纯化态进行局部酉变换，以构造态传输协议。
• 引入类似拒绝采样协议，结合前缀编码，以界定期望通信代价。
• 使用迹距离与相对熵 $ S(\rho_{x}||\sigma) $ 分析态制备中的保真度与通信权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为单向纠缠辅助量子通信复杂度证明最优直接和定理？
• RQ2 能否为单向公共随机性经典通信复杂度建立类似的直接和结果？
• RQ3 双向协议中的隐私权衡结果是否能导出量子与经典设置下的弱直接和定理？
• RQ4 能否将经典单元探测复杂度下界（如 ANN 与前驱查找问题）推广至量子协议？
• RQ5 Newman 的经典公共随机性约简技术是否可推广至量子设置？

主要发现

• 单向纠缠辅助量子通信复杂度满足 $ \mathsf{Q}^{1,\sf{pub}}(f^{\oplus m}) = \Omega(m \cdot \mathsf{Q}^{1,\sf{pub}}(f)) $，证明了最优直接和结果。
• 单向公共随机性经典通信复杂度满足 $ \mathsf{R}^{1,\sf{pub}}(f^{\oplus m}) = \Omega(m \cdot \mathsf{R}^{1,\sf{pub}}(f)) $，建立了最优直接和结果。
• 在同时消息传递（SMP）模型中，量子与经典协议均满足类似的最优直接和定理。
• 通过隐私权衡分析，为双向量子与经典协议导出了弱直接和结果。
• 本文证明 Newman 的经典公共随机性约简技术无法提升至量子协议，因其无法将先验纠缠减少至常数因子以下。
• 通过基于纯化与前缀编码的协议，为精确远程态制备（ERSP）问题建立了上界，通信代价被限定为 $ \log(\mathsf{Tr}(\sigma^{-1}\rho_x)) + 2\log\log(\mathsf{Tr}(\sigma^{-1}\rho_x)) $。