[论文解读] Optimal Multi-Modes Switching with the Switching Cost not necessarily Positive

Brahim El Asri, Imade Fakhouri|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2012

Capital Investment and Risk Analysis参考文献 30被引用 13

一句话总结

本文研究有限时域内具有任意切换成本（正或负）的最优多模式切换问题，适用于绿色能源或减排激励等现实情境。通过验证定理与逼近方案，证明了最优策略与值函数的存在性与唯一性，表明值函数是带有障碍物的 m 个相互关联的变分不等方程组的粘性解。

ABSTRACT

In this paper, we study the m-states optimal switching problem in finite horizon, when the switching cost functions are arbitrary and can be positive or negative. This has an economic incentive in terms of central evaluation in cases where such organizations or state grants or financial assistance to power plants that promotes green energy in their production activity or what uses less polluting modes in their production. We show existence for optimal strategy via a verification theorem then we show existence and uniqueness of the value processes by using an approximation scheme. In the markovian framework we show that the value processes can be characterized in terms of deterministic continuous functions of the state of the process. Those latter functions are the unique viscosity solutions for a system of m variational partial differential inequalities with inter-connected obstacles.

研究动机与目标

• 解决多状态系统中切换成本可正可负的最优切换策略问题，反映绿色能源补贴等现实经济激励。
• 在一般成本结构下建立最优切换策略的存在性，拓展先前仅限于非负成本的研究。
• 在马尔可夫框架下，通过状态的确定性连续函数表征值过程。
• 证明值函数是带有相互关联障碍物的 m 个变分不等方程组的唯一粘性解。

提出的方法

• 利用验证定理，在任意切换成本函数下建立最优切换策略的存在性。
• 采用逼近方案，证明有限时域设定下值过程的存在性与唯一性。
• 在马尔可夫框架下，将值过程表示为潜在状态的确定性连续函数。
• 将值函数表征为带有相互关联障碍物的 m 个变分偏微分不等方程组的解。
• 依赖粘性解理论，处理障碍约束引起的非光滑性与非凸性。
• 利用切换成本与潜在过程动态之间的相互作用，推导出该不等方程组。

实验结果

研究问题

• RQ1 当切换成本不限于非负时，能否保证最优切换策略的存在？
• RQ2 在具有任意切换成本的多模式切换系统中，值过程如何被唯一表征？
• RQ3 在马尔可夫框架下，值函数与潜在状态动态之间存在何种关系？
• RQ4 变分不等方程组中相互关联的障碍物如何影响最优切换策略的结构？
• RQ5 值函数能否表示为状态的连续确定性函数？若能，其成立条件为何？

主要发现

• 即使切换成本不一定是正数，最优切换策略依然存在，从而将适用范围拓展至绿色能源激励等经济情境。
• 通过逼近方案证明值过程被唯一确定，确保了问题的适定性。
• 在马尔可夫设定下，值函数是状态的连续确定性函数，提供了可处理的表示形式。
• 值函数是带有相互关联障碍物的 m 个变分不等方程组的唯一粘性解。
• 该不等方程组捕捉了切换成本与模式切换收益之间的权衡，即使成本为负亦成立。
• 该框架可建模金融或政策激励，以奖励转向更清洁或更高效模式的切换行为。