[论文解读] Optimal order of $L_p$-discrepancy of digit shifted Hammersley point sets in dimension 2

Aicke Hinrichs, Ralph Kritzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 29被引用 7

一句话总结

该论文证明，在二维空间中，经过数字移位和对称化处理的Hammersley点集实现了所有 $ p \in (1,\infty) $ 的最优 $ L_p $-差异阶 $ \sqrt{\log N}/N $，解决了关于这些经典点集差异行为的长期疑问。作者使用Littlewood-Paley理论提供了直接证明，避免了复杂函数空间嵌入的依赖，并表明两种修改方式在所有 $ L_p $ 范数下均实现了最佳可能的收敛速率。

ABSTRACT

It is well known that the two-dimensional Hammersley point set consisting of $N=2^n$ elements (also known as Roth net) does not have optimal order of $L_p$-discrepancy for $p \in (1,\infty)$ in the sense of the lower bounds according to Roth (for $p \in [2,\infty)$) and Schmidt (for $p \in (1,2)$). On the other hand, it is also known that slight modifications of the Hammersley point set can lead to the optimal order $\sqrt{\log N}/N$ of $L_2$-discrepancy, where $N$ is the number of points. Among these are for example digit shifts or the symmetrization. In this paper we show that these modified Hammersley point sets also achieve optimal order of $L_p$-discrepancy for all $p \in (1,\infty)$.

研究动机与目标

• 确定在二维空间中，经过数字移位和对称化处理的Hammersley点集是否对所有 $ p \in (1,\infty) $ 实现了 $ L_p $-差异的最优阶。
• 为这些修改后的点集提供最优 $ L_p $-差异的直接证明，避免依赖于高级函数空间嵌入。
• 证明两种修改方式在所有 $ p \in (1,\infty) $ 下同时实现相同的最优收敛速率 $ \sqrt{\log N}/N $。
• 将新结果与现有构造（如Skriganov和Goda的构造）在一般性和 $ L_p $-范数最优性方面进行比较。

提出的方法

• 作者分析了数字移位的Hammersley点集 $ \mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym} $ 和对称化版本 $ \widetilde{\mathcal{R}}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym} $，它们分别通过数字移位和反射操作从经典的二维Hammersley集 $ \mathcal{R}_n $ 衍生而来。
• 他们以Littlewood-Paley理论为核心分析工具，用于控制局部差异函数的 $ L_p $-范数，从而实现直接估计，而无需引入Besov或Triebel-Lizorkin空间。
• 证明依赖于利用不等式 $ |D_N(\mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}, \mathbf{t}) - D_N(\widetilde{\mathcal{R}}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}, \mathbf{t})| \leq 1/2^{n+1} $ 来界定原始点集与修改后点集之间差异函数的差值，该不等式源于在变换下最多只有一个点会穿过盒边界这一事实。
• 随后通过三角不等式和常数 $ 1/2^{n+1} $ 的 $ L_p $-有界性，对差异的 $ L_p $-范数进行估计，得出修改后与原始集合的范数之间相差阶为 $ 1/N $。
• 作者证明了修改后集合的 $ L_p $-差异满足 $ L_{p,N}(\mathcal{R}_{n,\boldsymbol{\sigma}}^\mathrm{sym}) \asymp \sqrt{\log N}/N $，对所有 $ p \in (1,\infty) $ 成立，与Roth和Schmidt建立的下界一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维空间中，数字移位的Hammersley点集是否对所有 $ p \in (1,\infty) $ 实现了最优的 $ L_p $-差异阶？
• RQ2 Hammersley点集的对称化是否能实现最优的 $ L_p $-差异阶，且该阶是否在所有 $ p \in (1,\infty) $ 下一致成立？
• RQ3 是否存在一种对这些修改方式的最优 $ L_p $-差异阶的直接证明，且该证明不依赖于函数空间嵌入或Haar系数计算？
• RQ4 与其它已知构造相比，数字移位和对称化Hammersley点集的差异性质在 $ L_p $-范数最优性方面如何？

主要发现

• 数字移位的Hammersley点集对所有 $ p \in (1,\infty) $ 实现了最优的 $ L_p $-差异阶 $ \sqrt{\log N}/N $，与Roth和Schmidt建立的下界一致。
• 对称化后的数字移位Hammersley点集也对所有 $ p \in (1,\infty) $ 实现了最优的 $ L_p $-差异阶 $ \sqrt{\log N}/N $，且在所有 $ p $ 下具有相同的收敛速率。
• 原始点集与修改后点集之间的 $ L_p $-差异之差被限制在 $ 1/N $ 以内，确保了在修改下渐近阶的保持。
• 该证明是直接且自包含的，使用了Littlewood-Paley理论，避免了先前工作中依赖的高级函数空间嵌入或Haar系数分析。
• 结果表明，两种修改方式在所有 $ p \in (1,\infty) $ 下同时实现了最优差异，而不同于某些依赖于 $ p $ 的其他构造。
• 研究结果确认，修改后Hammersley点集的 $ L_p $-差异以速率 $ \sqrt{\log N}/N $ 收敛，这是二维点集在 $ L_p $ 意义下的最佳可能速率。