[论文解读] Optimal quantum strong coin flipping

André Chailloux, Iordanis Kerenidis|ArXiv.org|Apr 9, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种量子强强硬币翻转协议，其欺骗概率可任意接近理论下限 $1/\sqrt{2}$，通过一种新颖的组合方法将强硬币翻转问题转化为弱硬币翻转问题来实现。该构造利用 Mochon 的最优量子弱硬币翻转协议，仅引入微小的加法误差，便实现了接近最优的安全性。

ABSTRACT

Coin flipping is a fundamental cryptographic primitive that enables two distrustful and far apart parties to create a uniformly random bit [Blu81]. Quantum information allows for protocols in the information theoretic setting where no dishonest party can perfectly cheat. The previously best-known quantum protocol by Ambainis achieved a cheating probability of at most 3/4 [Amb01]. On the other hand, Kitaev showed that no quantum protocol can have cheating probability less than $1/\sqrt{2}$ [Kit03]. Closing this gap has been one of the important open questions in quantum cryptography. In this paper, we resolve this question by presenting a quantum strong coin flipping protocol with cheating probability arbitrarily close to $1/\sqrt{2}$. More precisely, we show how to use any weak coin flipping protocol with cheating probability $1/2+ε$ in order to achieve a strong coin flipping protocol with cheating probability $1/\sqrt{2}+O(ε)$. The optimal quantum strong coin flipping protocol follows from our construction and the optimal quantum weak coin flipping protocol described by Mochon [Moc07].

研究动机与目标

• 弥合长期以来已知的最优量子强硬币翻转欺骗概率（$3/4$）与理论下限（$1/\sqrt{2}$）之间的差距。
• 建立一种通用方法，将任意偏差为 $\varepsilon$ 的弱硬币翻转协议转换为欺骗概率为 $1/\sqrt{2} + O(\varepsilon)$ 的强硬币翻转协议。
• 解决关于 $1/\sqrt{2}$ 是否为量子强硬币翻转最优欺骗概率的开放问题。
• 证明可通过现有最优弱硬币翻转协议实现最优边界。

提出的方法

• 通过将 $WCF(1/2, \varepsilon)$ 协议作为子程序，将强硬币翻转问题归约为弱硬币翻转问题。
• 关键组件是一个递归构造，可将弱硬币翻转协议的偏差放大至接近 $2 - \sqrt{2}$，与目标强硬币翻转欺骗概率一致。
• 使用 $k = 2\lceil \log(1/\varepsilon) \rceil$ 轮弱硬币翻转协议，以模拟一个 $WCF(x, \varepsilon')$ 协议，其中 $x \approx 2 - \sqrt{2}$。
• 强硬币翻转协议通过一方承诺一个比特，另一方宣布一个比特，并以异或运算确定结果，同时通过概率分析确保欺骗概率受控。
• 分析使用了半定规划技术，并基于弱协议的结构及其放大机制推导出欺骗概率的界。
• 最终协议实现了欺骗概率 $\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\varepsilon + o(\varepsilon)$，总轮复杂度为 $O(N \log(1/\varepsilon))$，其中 $N$ 为弱协议的轮数。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子强硬币翻转能否实现欺骗概率任意接近理论下限 $1/\sqrt{2}$？
• RQ2 是否存在一种通用方法，可将任意小偏差的弱硬币翻转协议转换为欺骗概率接近最优的强硬币翻转协议？
• RQ3 在量子强硬币翻转中，可实现的最小欺骗概率是多少？是否能通过已知的最优弱硬币翻转协议实现该边界？
• RQ4 当组合弱硬币翻转协议以实现最优强硬币翻转时，轮复杂度如何变化？

主要发现

• 该论文构建了一个量子强硬币翻转协议，其欺骗概率为 $\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\varepsilon + o(\varepsilon)$，其中 $\varepsilon$ 为底层弱硬币翻转协议的偏差。
• 该协议使用了 $O(N \log(1/\varepsilon))$ 轮，其中 $N$ 为弱硬币翻转协议的轮数，因此在通信效率方面表现良好。
• 通过将所提出的构造与 Mochon 的最优弱硬币翻转协议结合，论文实现了欺骗概率可任意接近 $1/\sqrt{2}$ 的强硬币翻转协议。
• 欺骗概率满足 $P^*_A \leq \frac{1}{\sqrt{2} - 2\varepsilon - \varepsilon^2}$ 和 $P^*_B \leq \frac{\sqrt{2} + 2\varepsilon + \varepsilon^2}{2}$，当 $\varepsilon \to 0$ 时，两者均收敛于 $1/\sqrt{2}$。
• 该构造是对称的，依赖于经典通信与量子子程序的结合，表明核心量子组件为弱硬币翻转协议。
• 该工作成功弥合了长期以来量子强硬币翻转协议中已知最优上界（$3/4$）与理论下界（$1/\sqrt{2}$）之间的差距。