[论文解读] Optimal Tiling of the Euclidean Space Using Permutation-Symmetric Bodies

Mark Braverman, Dor Minzer|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 30被引用 1

一句话总结

该论文通过证明在 R^n 中，对称体平铺的最小表面积为 Θ(n/√log n)，解决了对称泡沫问题，借助一种新颖的对称平铺构造建立了紧致界。该结果通过与二证明者一回合博弈中对称并行重复的联系推导得出，特别是奇圈游戏，表明对称重复实现了指数衰减的值，暗示尽管在一般情况下强并行重复不成立，但在特殊情况下可能成立。

ABSTRACT

What is the least surface area of a symmetric body $B$ whose $\mathbb{Z}^n$ translations tile $\mathbb{R}^n$? Since any such body must have volume $1$, the isoperimetric inequality implies that its surface area must be at least $Ω(\sqrt{n})$. Remarkably, Kindler et al.\ showed that for general bodies $B$ this is tight, i.e.\ that there is a tiling body of $\mathbb{R}^n$ whose surface area is $O(\sqrt{n})$. In theoretical computer science, the tiling problem is intimately to the study of parallel repetition theorems (which are an important component in PCPs), and more specifically in the question of whether a "strong version" of the parallel repetition theorem holds. Raz showed, using the odd cycle game, that strong parallel repetition fails in general, and subsequently these ideas were used in order to construct non-trivial tilings of $\mathbb{R}^n$. In this paper, motivated by the study of a symmetric parallel repetition, we consider the symmetric variant of the tiling problem in $\mathbb{R}^n$. We show that any symmetric body that tiles $\mathbb{R}^n$ must have surface area at least $Ω(n/\sqrt{\log n})$, and that this bound is tight, i.e.\ that there is a symmetric tiling body of $\mathbb{R}^n$ with surface area $O(n/\sqrt{\log n})$. We also give matching bounds for the value of the symmetric parallel repetition of Raz's odd cycle game. Our result suggests that while strong parallel repetition fails in general, there may be important special cases where it still applies.

研究动机与目标

• 确定能平铺 R^n 的对称体的最小表面积，解决经典泡沫问题的对称变体。
• 研究在 2-证明者-1-回合博弈中，对称策略的强并行重复是否成立，特别是奇圈游戏的情境。
• 建立对称平铺与 2-证明者-1-回合博弈中对称策略之间的几何-组合联系。
• 为对称平铺体的表面积提供紧致的上下界，解决几何泛函分析与理论计算机科学中长期存在的开放问题。

提出的方法

• 基于随机格平移和具有受控测度集中性的对称凸体，使用概率方法构造对称平铺体。
• 以奇圈游戏作为典型例子，分析对称并行重复，通过平铺诱导的格赋值建模策略。
• 应用测度集中与反集中不等式，界定立方体中两个邻近点落在同一块内的概率，确保策略的一致性。
• 通过分析平移块之间的重叠并利用对称性确保在排列下的一致性，证明对称策略的成功概率至少为 1 − O(A/n)，其中 A 为表面积。
• 建立泡沫问题与对称并行重复值之间的对偶性，表明最优平铺意味着强对称重复。
• 利用构造的对称性，确保在坐标排列下不变，这对对称并行重复设置至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定单位体积，能平铺 R^n 的对称体的最小表面积是多少？
• RQ2 在 2-证明者-1-回合博弈中，对称策略的强并行重复是否成立，特别是奇圈游戏？
• RQ3 对称平铺体能否实现优于一般平铺的表面积，若是，改善程度如何？
• RQ4 图的特征值与 Max-Cut 博弈中对称并行重复性能之间的关系是什么？
• RQ5 对称平铺与 PCP 构造及近似难度中的对称策略结构有何关联？

主要发现

• 任何能平铺 R^n 的对称体的最小表面积为 Ω(n/√log n)，建立了强有力的下界。
• 存在一个 R^n 中的对称平铺体，其表面积为 O(n/√log n)，证明该界是紧致的。
• 奇圈游戏的对称并行重复值至多为 1 − Ω(1/√log n)，与平铺界一致。
• 对称策略的成功概率至少为 1 − O(A/n)，其中 A 为表面积，表明低表面积意味着高一致性。
• 该构造在对称重复下实现了值的指数衰减，暗示尽管在一般情况下强并行重复不成立，但在对称设置下可能成立。
• 结果在 R^n 中的对称平铺与 2-证明者-1-回合博弈中的对称并行重复之间建立了紧致对应，将几何与复杂性理论联系起来。