[论文解读] Optimal Transport for Parameter Identification of Chaotic Dynamics via Invariant Measures

Yunan Yang, Levon Nurbekyan+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2021

Model Reduction and Neural Networks参考文献 69被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种基于最优传输的新方法，用于在混沌动力系统中通过Wasserstein度量拟合不变测度来实现参数识别。该方法将逆问题表述为PDE约束优化问题，利用Perron–Frobenius算子，并通过伴随方法推导出高效的梯度计算，即使在无法获取时间导数的情况下，也能实现可扩展且鲁棒的参数估计。

ABSTRACT

We study an optimal transportation approach for recovering parameters in dynamical systems with a single smoothly varying attractor. We assume that the data is not sufficient for estimating time derivatives of state variables but enough to approximate the long-time behavior of the system through an approximation of its physical measure. Thus, we fit physical measures by taking the Wasserstein distance from optimal transportation as a misfit function between two probability distributions. In particular, we analyze the regularity of the resulting loss function for general transportation costs and derive gradient formulas. Physical measures are approximated as fixed points of suitable PDE-based Perron--Frobenius operators. Test cases discussed in the paper include common low-dimensional dynamical systems.

研究动机与目标

• 解决在时间导数不可观测或不可靠时（由于数据稀疏、噪声大或不连续）混沌系统中参数识别的挑战。
• 从基于轨迹的拟合转向基于统计的拟合，通过物理（不变）测度建模长时间行为。
• 利用Perron–Frobenius算子建立PDE约束优化框架，以演化概率密度并近似不变测度。
• 建立Wasserstein损失相对于系统参数的可微性，从而支持基于梯度的优化。
• 通过有限体积离散化与伴随方法，提供高效的计算流程，实现可扩展的参数估计。

提出的方法

• 通过长时间轨迹的平均值近似混沌系统的物理测度，将其表示为状态空间上的概率分布。
• 通过流的Perron–Frobenius算子导出的Fokker–Planck方程或连续性方程，建模概率密度的演化。
• 使用一阶迎风有限体积格式对连续性方程进行离散化，以数值求解正向问题。
• 将二次Wasserstein距离用作模拟不变测度与数据中经验测度之间残差的度量函数。
• 利用伴随方法推导Wasserstein损失的解析梯度公式，确保计算成本与参数维度无关。
• 采用“先离散后优化”的策略，高效计算梯度，从而实现大规模参数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当无法获取时间导数时，Wasserstein度量能否作为混沌系统参数识别中鲁棒且可微的损失函数？
• RQ2 Wasserstein损失函数相对于系统参数在何种条件下可微，其梯度如何高效计算？
• RQ3 通过Perron–Frobenius算子的PDE正向模型，混沌系统的不变测度能多好地被近似？
• RQ4 该方法在高维参数空间中的计算效率与可扩展性如何？
• RQ5 该方法能否处理混沌吸引子中常见的具有复杂支撑结构的奇异、分形测度？

主要发现

• 在速度场和运输成本具有适度正则性假设下，Wasserstein损失函数相对于系统参数是连续可微的。
• 伴随方法可实现与参数数量无关的梯度计算成本，使该方法在高维参数空间中具有可扩展性。
• 在低维混沌系统（如Lorenz、Rössler）上的数值实验表明，仅使用长时间轨迹统计信息，参数估计即可实现高精度收敛。
• 由于对初值敏感性和测量噪声具有鲁棒性，该方法在混沌区域中优于传统基于轨迹的方法。
• 有限体积迎风格式确保了稳定性和守恒性，所得马尔可夫矩阵为稀疏矩阵，从而高效求解PDE约束优化问题。
• 该框架天然适用于具有分形支撑和奇异密度的不变测度，而这类测度对经典密度估计技术构成挑战。