[论文解读] Optimal Transportation with Boundary Costs and Summability Estimates on the Transport Density

Samer Dweik|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 6

一句话总结

本文研究有界区域中带有进出口边界费用的最优传输问题，证明了尽管目标测度在边界上集中（奇异），传输密度仍属于 $L^p$ 可 summable。建立了具有狄利克雷边界条件的贝克曼与康托罗维奇问题之间的对偶性，并通过隐函数定理和雅可比矩阵行列式估计，推导出传输映射的正则性结果。

ABSTRACT

In this paper we analyze a mass transportation problem in a bounded domain with the possibility to transport mass to/from the boundary, paying the transport cost, that is given by the Euclidean distance plus an extra cost depending on the exit/entrance point. This problem appears in import/export model, as well as in some shape optimization problems. We study the L^p summability of the transport density which does not follow from standard theorems, as the target measures are not absolutely continuous but they have some parts of them which are concentrated on the boundary. We also provide the relevant duality arguments to connect the corresponding Beckmann and Kantorovich problems to a formulation with Kantorovich potentials with Dirichlet boundary conditions.

研究动机与目标

• 研究有界区域中带有质量进口/出口额外费用的最优传输问题。
• 在目标测度奇异（集中于边界）时，建立传输密度的 $L^p$ 可 summability，突破标准定理的限制。
• 发展对偶论证，将具有狄利克雷边界条件的贝克曼与康托罗维奇问题联系起来。
• 通过隐函数定理与雅可比行列式分析，证明最优传输映射几乎处处 $C^1$ 正则性。

提出的方法

• 提出一种带有边界费用 $g_1$（进口）和 $g_2$（出口）的科托罗维奇问题（KPb）变体，通过最小化总成本（运输成本加边界税）来建模。
• 引入使用具有狄利克雷边界条件的科托罗维奇势函数的对偶形式，与蒙日-科托罗维奇系统相联系。
• 通过最优计划 $\gamma$ 沿直线路径的积分定义传输密度 $\sigma$，并将其与向量场 $W = -\sigma \nabla u$ 相关联。
• 应用隐函数定理，证明在 $g$ 的黑塞矩阵非退化条件下，传输映射 $T$ 在定义域的全测度子集上具有 $C^1$ 正则性。
• 分析沿传输射线的雅可比行列式 $\det(DT_t(x))$，证明其几乎处处满足 $\geq C(1-t)$，其中 $t$ 属于全测度集。
• 对矩阵 $F + (1-t)N$ 进行行列式估计，证明其几乎处处可逆，通过证明其行列式仅在每条射线上有限多个 $t$ 值处为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标测度在边界上奇异时，边界费用的存在如何影响传输密度的 $L^p$ 可 summability？
• RQ2 贝克曼与科托罗维奇问题之间的对偶性是否可以扩展至包含势函数的狄利克雷边界条件？
• RQ3 在何种条件下，最优传输映射 $T$ 几乎处处在定义域内连续可微？
• RQ4 传输映射的雅可比行列式沿传输射线的行为如何？其与映射正则性有何关联？
• RQ5 如何应用隐函数定理证明在边界费用严格凸的某点附近，传输映射具有 $C^1$ 正则性？

主要发现

• 当源测度与目标测度属于 $L^p$ 时，传输密度 $\sigma$ 属于 $L^p(\Omega)$，即使它们在边界上奇异，该结论对所有 $p \geq 1$ 成立。
• 最优传输映射 $T$ 几乎处处在 $\Omega$ 上 $C^1$，具体位于全测度子集 $\Omega \setminus N$ 上，其中 $N$ 为一个可忽略的闭集。
• 传输映射的雅可比行列式满足 $|\det(DT_t(x))| \geq C(1-t)$，对几乎所有 $x$ 和 $t \in [0,1]$ 成立，其中 $C > 0$ 依赖于区域直径、$\lambda$、$r$ 以及 $D^2g$。
• 沿每条传输射线，矩阵 $F + (1-t)N$ 几乎处处可逆，因其行列式仅在有限多个 $t$ 值处为零。
• 隐函数定理适用于方程组 $h(x,y) = 0$，确保在任意点 $a \in \Omega \cap S \cap \Omega_1$ 的邻域内，$T$ 局部具有 $C^1$ 正则性，前提是 $g$ 的黑塞矩阵非退化。
• 映射 $T$ 失去 $C^1$ 正则性的点集是可忽略的，因为其与每条传输射线的交集为可数集，从而推出映射几乎处处 $C^1$ 正则性。