[论文解读] Optimal Unbiased Estimation for Maximal Distribution

Hanqing Jin, Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 13被引用 15

一句话总结

本文证明了在具有最大分布的上下文期望空间中，最大顺序统计量是上均值的最大无偏估计量，最小顺序统计量是最小无偏估计量。此外，本文利用顺序统计量和三角形数组抽样方法，构建了对一般随机变量的上下文分布的渐近无偏估计量。

ABSTRACT

Unbiased estimation for parameters of maximal distribution is a very fundamental problem in the statistical theory of sublinear expectation. In this paper, we proved that the maximum estimator is the largest unbiased estimator for the upper mean and the minimum estimator is the smallest unbiased estimator the the lower mean.

研究动机与目标

• 解决在子线性期望空间中对最大分布参数进行无偏估计的基本问题。
• 识别最大分布的上均值 $\overline{\mu}$ 和下均值 $\underline{\mu}$ 的最优无偏估计量。
• 利用独立同分布样本，为一般随机变量的子线性分布构建一个通用的渐近无偏估计量。

提出的方法

• 使用顺序统计量——特别是独立同分布样本的最大值和最小值——作为上均值和下均值的估计量。
• 在子线性期望下应用大数定律，证明其依分布收敛于最大分布。
• 定义三角形数组索引方案 $\mathrm{trn}(i,k)$ 以分组样本并计算经验均值 $M_{k,n}[\varphi]$。
• 将渐近最大无偏估计量 $\mathbb{T}_k[\varphi]$ 构造为 $k$ 个组均值 $M_{k,n}[\varphi]$ 的最大值。
• 利用 G-分布框架和子线性期望的性质，刻画估计量的极限分布。
• 利用子线性期望的凸性和自支配性质，推导出随机向量函数期望的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子线性期望下，最大分布的上均值 $\overline{\mu}$ 的最优无偏估计量是什么？
• RQ2 在子线性期望下，最大分布的下均值 $\underline{\mu}$ 的最优无偏估计量是什么？
• RQ3 如何为一般随机变量的完整子线性分布构造一个渐近无偏估计量？
• RQ4 最大值和最小值顺序统计量能否保持原始最大分布的分布特性？
• RQ5 在三角形数组抽样方案中，组均值 $M_{k,n}[\varphi]$ 的极限行为如何？

主要发现

• 最大值估计量 $\max\{X_1, \dots, X_n\}$ 是上均值 $\overline{\mu}$ 的最大无偏估计量。
• 最小值估计量 $\min\{X_1, \dots, X_n\}$ 是下均值 $\underline{\mu}$ 的最小无偏估计量。
• 对 $k$ 个组均值 $M_{k,n}[\varphi]$ 取最大值，其依分布收敛于参数为 $[\underline{\mu}_X(\varphi), \overline{\mu}_X(\varphi)]$ 的最大分布，因此是渐近最大无偏估计量。
• 对于任意 $\varphi \in C_{b,Lip}(\mathbb{R}^d)$，经验均值 $M_{k,n}[\varphi]$ 满足当 $n \to \infty$ 时依分布收敛于 $M_{[\underline{\mu}_X(\varphi), \overline{\mu}_X(\varphi)]}$，从而保证了渐近无偏性。
• 对于连续函数 $f$，$f(X_1, \dots, X_n)$ 的分布收敛于一个最大分布，其边界由 $f$ 在 $[\underline{\mu}, \overline{\mu}]^n$ 上的极值决定，从而将结果推广至泛函情形。
• 三角形数组索引 $\mathrm{trn}(i,k)$ 确保所有样本在构造估计量 $\mathbb{T}_k[\varphi]$ 时被高效利用。