[论文解读] Optimizing fermionic encodings for both Hamiltonian and hardware

Riley W. Chien, Joel Klassen|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2022

Quantum chaos and dynamical systems被引用 15

一句话总结

本文提出一种暴力搜索、分支限界算法，通过在所有马约拉纳单项式到泡利算符的编码空间中搜索，以同时优化费米子哈密顿量和特定量子硬件的连通性，实现最小电路深度的最优或近似最优编码。该方法在具有平移对称性的系统（如晶格和费米- Hubbard 模型）上得到验证，并可认证所发现编码的错误检测特性。

ABSTRACT

In this work we present a method for generating a fermionic encoding tailored to a set of target fermionic operators and to a target hardware connectivity. Our method uses brute force search, over the space of all encodings which map from Majorana monomials to Pauli operators, to find an encoding which optimizes a target cost function. In contrast to earlier works in this direction, our method searches over an extremely broad class of encodings which subsumes all known second quantized encodings that constitute algebra homomorphisms. In order to search over this class, we give a clear mathematical explanation of how precisely it is characterized, and how to translate this characterization into constructive search criteria. A benefit of searching over this class is that our method is able to supply fairly general optimality guarantees on solutions. A second benefit is that our method is, in principal, capable of finding more efficient representations of fermionic systems when the set of fermionic operators under consideration are faithfully represented by a smaller quotient algebra. Given the high algorithmic cost of performing the search, we adapt our method to handle translationally invariant systems that can be described by a small unit cell that is less costly. We demonstrate our method on various pairings of target fermionic operators and hardware connectivities. We additionally show how our method can be extended to find error detecting fermionic encodings in this class.

研究动机与目标

• 解决缺乏同时针对目标哈密顿量和特定量子硬件连通性进行优化的定制化费米子编码的问题。
• 克服现有编码通用化或未针对硬件特定约束（如量子比特连通性和电路深度）进行优化的局限性。
• 开发一种系统化方法，对广泛的第二量化编码进行搜索——具体而言，即所有从马约拉纳单项式到泡利算符的代数同态——以发现更高效的表示形式。
• 利用费米子系统和硬件中的平移对称性，降低计算成本，使该搜索方法在实际规模问题上可行。
• 将该方法扩展至识别具备错误检测能力的编码，从而增强近期量子模拟的容错潜力。

提出的方法

• 在所有将马约拉纳单项式映射到泡利算符的编码空间中进行暴力搜索，其数学表征为马约拉纳单项式群代数上的代数同态。
• 实现分支限界算法，通过基于斯坦纳树的代价模型，对部分编码的代价进行边界估计，从而高效剪枝搜索空间。
• 将编码的代价定义为连接哈密顿量中每一项所支持的量子比特所需的斯坦纳树的最大边数，作为电路深度的代理指标。
• 通过利用费米子代数和硬件布局中的平移不变性实施对称性约化，采用小单元胞表示系统，从而大幅降低搜索复杂度。
• 通过群结构和单项式关系，将编码空间的数学表征构造性地转化为搜索条件。
• 将方法扩展以检查错误检测能力，通过分析所得编码的稳定子结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对广泛费米子编码类别的系统性、穷举搜索，能否识别出针对特定费米子哈密顿量和给定硬件连通性的最优或近似最优映射？
• RQ2 在费米子系统和硬件布局中，平移对称性在多大程度上可被利用，以降低编码搜索的计算成本，同时保持最优性？
• RQ3 所提出的方法能否发现此前未知的编码，其在电路深度和量子比特连通性需求方面优于现有编码？
• RQ4 该方法能否被调整以识别具备内在错误检测能力的编码，从而增强在噪声中等规模量子设备中的鲁棒性？
• RQ5 不同代价模型（尤其是基于斯坦纳树的深度代理）如何影响所发现编码的质量和可行性？

主要发现

• 该方法成功为平面和非平面硬件布局在标准费米子代数上发现了最优编码，包括正方晶格和双层系统上的边算符和点算符。
• 对于正方晶格上的费米-Hubbard 模型，该方法识别出具有最小电路深度的编码，其在硬件连通性效率方面优于标准编码。
• 该方法重新发现了已知编码，并在所定义的代价函数下认证了其最优性，证实了搜索框架的正确性。
• 该方法发现了此前未知的更高效编码，尤其在降低哈密顿量各项的斯坦纳树最大代价方面表现更优。
• 所发现的许多编码为稳定子码，其错误检测能力已通过形式化验证，证明了该方法在整合容错性考虑方面的有效性。
• 利用平移对称性显著减少了搜索空间，使该方法在每个单元胞包含数十个量子比特的系统上计算上可行，推动了当前穷举搜索能力的边界。