[论文解读] Optimizing Pinning Control of Complex Dynamical Networks Based on Spectral Properties of Grounded Laplacian Matrices

Hui Liu, Xuanhong Xu+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2018

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 51被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种基于代数图论的准则，通过最大化接地拉普拉斯矩阵的最小特征值（λ₁）来优化复杂动力网络中的钉扎控制——该接地拉普拉斯矩阵通过移除对应钉扎节点的行和列而形成。利用源自网络拓扑的谱特性，包括拉普拉斯谱、未受控节点的最小度数以及集合间边数，该方法识别出最优节点选择策略。关键发现是：在钉扎比例较小时，高阶度节点为最优；而在比例较大时，低阶度节点表现更优，该结论已在无标度网络、小世界网络及真实网络中得到验证。

ABSTRACT

Pinning control of a complex network aims at forcing the states of all nodes to track an external signal by controlling a small number of nodes in the network. In this paper, an algebraic graph-theoretic condition is introduced to optimize pinning control. When individual node dynamics and coupling strength of the network are given, the effectiveness of pinning scheme can be measured by the smallest eigenvalue of the grounded Laplacian matrix obtained by deleting the rows and columns corresponding to the pinned nodes from the Laplacian matrix of the network. The larger this smallest eigenvalue, the more effective the pinning scheme. Spectral properties of the smallest eigenvalue are analyzed using the network topology information, including the spectrum of the network Laplacian matrix, the minimal degree of uncontrolled nodes, the number of edges between the controlled node set and the uncontrolled node set, etc. The identified properties are shown effective for optimizing the pinning control strategy, as demonstrated by illustrative examples. Finally, for both scale-free and small-world networks, in order to maximize their corresponding smallest eigenvalues, it is better to pin the nodes with large degrees when the percentage of pinned nodes is relatively small, while it is better to pin nodes with small degrees when the percentage is relatively large. This surprising phenomenon can be explained by one of the theorems established.

研究动机与目标

• 为解决在复杂网络中选择最优钉扎节点方面缺乏深入理解的问题。
• 基于接地拉普拉斯矩阵的谱特性，开发一种衡量钉扎控制有效性的准则。
• 利用网络拓扑信息，推导出最小特征值（λ₁）的可解析处理的界与性质。
• 提供一种系统化的节点选择策略，以最大化控制效率。
• 在合成网络与真实世界网络（包括无标度网络、小世界网络及实证网络）上验证所提方法。

提出的方法

• 钉扎控制方案的有效性通过移除对应钉扎节点行与列后所得接地拉普拉斯矩阵的最小特征值（λ₁）来衡量。
• 利用图论与矩阵分析工具，推导出λ₁的理论界，包括全网络拉普拉斯矩阵的第(l+1)个最小特征值、未受控节点的最小度数，以及受控集与未受控集之间边的平均数量。
• 提出一种算法（算法1），基于这些谱特性选择钉扎节点，以最大化λ₁。
• 该方法应用于多种网络类型，包括星型图、双星图、完全连通图、无标度网络、小世界网络及真实网络（海豚网络与电子邮件网络）。
• 数值仿真将所提方法与基于度数及介数中心性（BC）的钉扎方案进行比较，以λ₁作为性能指标。
• 理论分析与仿真结果表明，最优节点选择策略取决于钉扎比例：在低比例时，高阶度节点更优；在高比例时，低阶度节点更优，这一反直觉现象可通过理论分析解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些接地拉普拉斯矩阵的谱特性可用于预测与优化钉扎控制的有效性？
• RQ2 接地拉普拉斯矩阵的最小特征值λ₁与网络拓扑特征（如节点度数与边分布）有何关系？
• RQ3 当受控节点数量固定时，最优的钉扎节点选择策略是什么？
• RQ4 随着钉扎比例（即钉扎节点数量）的变化，最优节点选择策略如何改变？
• RQ5 能否利用λ₁的谱界来指导高效钉扎控制算法的设计？

主要发现

• 接地拉普拉斯矩阵的最小特征值λ₁是衡量钉扎控制有效性的可靠指标：λ₁越大，控制方案越有效。
• 在海豚网络中，算法1在14个钉扎节点下达到λ₁ = 0.5038，优于基于度数的方案（0.5615）与基于介数中心性的方案（0.5247）。
• 在电子邮件网络中，算法1在266个钉扎节点下达到λ₁ = 0.3986，优于基于度数的方案（0.3344）与基于介数中心性的方案（0.3334）。
• 当钉扎比例较小时，选择高阶度节点可使λ₁最大化；当比例较大时，选择低阶度节点可获得更高的λ₁，这一反直觉现象可通过理论分析解释。
• λ₁的上界由全网络拉普拉斯矩阵的第(l+1)个最小特征值给出，为控制所需最小节点数提供了理论估计。
• 未受控节点的最小度数以及受控集与未受控集之间边的平均数量，为λ₁提供了有用的上界，使无需完整计算特征值即可实现实际估计成为可能。