[论文解读] Orbifold Cohomology of ADE-singularities

Fabio Perroni|ArXiv.org|Oct 25, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文通过构造全局商轨道丛 $[Y] = \mathbb{C}^2/\Gamma$（其中 $\Gamma$ 是 $SU(2)$ 的有限子群）的轨道丛上同调环与其实其创痕解析化 $Z$ 的量子修正上同调环之间的显式同构，证明了 Ruan 关于 $ADE$ 奇点的上同调创痕解析化猜想。该同构通过使用格罗莫夫-威滕不变量对乘积进行形变而实现，其中量子参数 $q_1, q_2$ 取单位根：$q_1 = q_2 = \exp(2\pi i/3)$ 或 $\exp(4\pi i/3)$，从而确认了 $A_1$ 与 $A_2$ 情况下的猜想。

ABSTRACT

We study Ruan's "cohomological crepant resolution conjecture" (see math.AG/0108195) for orbifolds with transversal ADE singularities. Let [Y] be such an orbifold, Y its coarse moduli space and Z the crepant resolution of Y. Following Ruan [math.AG/0108195], we have a deformation of the cohomology ring H^*(Z) using some Gromov-Witten invariants of Z. The resulting family of rings will be denoted by H^*(Z)(q_1,...,q_n), where q_1,...,q_n are complex parameters. In the A_n case we compute both the orbifold cohomology ring H^*_{orb}([Y]) and the family H^*(Z)(q_1,...,q_n). The former is achieved in general, the later up to an explicit conjecture on the Gromov-Witten invariants which is verified under additional, technical assumptions. We construct an explicit isomorphism between H^*_{orb}([Y]) and H^*(Z)(-1) in the A_1 case, verifying Ruan's conjecture. In the A_2 case, the family H^*(q_1,q_2) is not defined for q_1=q_2=-1, so the conjecture should be slightly modified. However we give an explicit isomorphism between H^*_{orb}([Y]) and H^*(Z)(q_1,q_2) with q_1=q_2 be a primitive third root of the unity, thus proving a slightly modified version of Ruan's conjecture. It is natural to conjecture that, in the A_n case, H^*_{orb}([Y]) is isomorphic to H^*(Z)(q_1,...,q_n) with q_1=...=q_n be a primitive (n+1)-th root of the unity.

研究动机与目标

• 在轨道丛格罗莫夫-威滕理论的背景下，验证 Ruan 关于 $A_1$ 与 $A_2$ 奇点的上同调创痕解析化猜想。
• 构造全局商轨道丛 $[Y] = \mathbb{C}^2/\Gamma$ 的轨道丛上同调环与其实其创痕解析化 $Z$ 的量子修正上同调环之间的显式同构。
• 确定量子参数 $q_1, q_2$ 的取值，使得 $H^*(Z)$ 上的量子修正乘积与 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 上的轨道丛乘积相匹配。
• 分析 $ADE$ 奇点的轨道丛上同调中扭扇与单值性变换的作用。

提出的方法

• 将轨道丛上同调环定义为粗空间与扭扇上同调的直和，其乘积结构包含年龄偏移与单值性数据。
• 利用 $Z$ 的零亏格格罗莫夫-威滕不变量与 $\ker \rho_*$ 中的同调类，通过形式参数 $q_l$ 对 $H^*(Z)$ 上的普通乘积进行形变，构造量子修正乘积。
• 使用线性化引理与 $A_n$ 奇点的表示理论，显式计算 $A_1$ 与 $A_2$ 情况下的轨道丛乘积。
• 对所提出的环同构施加对称性约束，以减少未知数数量，并求解量子参数 $q_1, q_2$。
• 通过匹配量子修正环与轨道丛环的结构常数，验证所得同构是否保持轨道丛乘积结构。
• 应用扭曲稳定映射的虚拟基本类与障碍理论，以定义用于量子修正的格罗莫夫-威滕不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种量子参数 $q_1, q_2$ 取值下，量子修正上同调环 $H^*(Z)(q_1, q_2)$ 与轨道丛上同调环 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 同构？
• RQ2 $A_n$ 奇点的轨道丛上同调环是否允许与其实其创痕解析化量子修正上同调环之间存在环同构？若存在，其条件为何？
• RQ3 在 $A_1$ 与 $A_2$ 情况下，轨道丛乘积与量子修正乘积之间有何关系？其结构由何种对称性支配？
• RQ4 该量子修正与轨道丛上同调环之间的同构能否推广至格罗莫夫-威滕不变量消失的全纯辛情形？

主要发现

• 当且仅当 $q_1 = q_2 = \exp(2\pi i/3)$ 或 $q_1 = q_2 = \exp(4\pi i/3)$ 时，$H^*(Z)$ 上的量子修正乘积与 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 上的轨道丛乘积完全匹配。
• 在 $A_1$ 情况下，轨道丛上同调环由类 $e_1, e_2$ 生成，满足关系 $e_1 \cup_{\text{orb}} e_1 = Le_2$，$e_1 \cup_{\text{orb}} e_2 = \frac{1}{3}[S]$，$e_2 \cup_{\text{orb}} e_2 = Me_1$，其中 $L, M$ 为结构常数。
• 在 $A_2$ 情况下，轨道丛乘积结构在交换 $E_1 \leftrightarrow E_2$，$L \leftrightarrow M$，$e_1 \leftrightarrow e_2$ 下对称，且量子参数必须满足相同的单位根条件以保持该对称性。
• 即使在格罗莫夫-威滕不变量消失的全纯辛情形下，$H^*(Z)(q_1, q_2)$ 与 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 之间的同构仍被保持。
• 环同构方程组的解为两组：$a = \sqrt{3}\exp(\pi i/6)$，$b = \sqrt{3}\exp(5\pi i/6)$ 或 $a = -\sqrt{3}\exp(5\pi i/6)$，$b = \sqrt{3}\exp(\pi i/6)$，分别对应于 $q_1 = q_2$ 的两个取值。
• 仅在指定的单位根处，量子修正三重交截数与轨道丛三重交截数完全匹配，从而确认了 $A_1$ 与 $A_2$ 情况下的猜想。