[论文解读] Origamis with non congruence Veech groups

Gabriela Schmithuesen|ArXiv.org|Apr 3, 2007

Advanced Materials and Mechanics参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文证明了对于每个亏格 $ g \geq 2 $，存在原发面（正方形铺砌曲面）其Veech群是 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 的非同余子群。作者通过自由群 $ F_2 $ 的自同构群对原发面Veech群进行群论刻画，显式计算了两个具有非同余Veech群的实例，并由此构造出无限族，从而确立了在每个模空间 $ M_g $ 中存在由非同余Veech群产生的Teichmüller曲线。

ABSTRACT

As main result we show that for each g > 1 there is some translation surface of genus g whose Veech group is a non congruence subgroup of SL(2,Z). We use origamis/square-tiled surfaces to produce our examples. The article is divided into two parts: In the first part we introduce translation surfaces, origamis, Veech groups and Teichmueller curves and show for two origamis in genus 2 that their Veech groups are non congruence groups; in the second part we provide a technique that produces sequences of origamis whose Veech groups are decreasing. This is used to prove the main result.

研究动机与目标

• 建立每个亏格 $ g \geq 2 $ 中原发面的存在性，其Veech群为 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 的非同余子群。
• 通过自由群 $ F_2 $ 的自同构群，提供原发面Veech群的群论刻画。
• 显式构造具有非同余Veech群的原发面实例，并由此生成无限族。
• 证明此类Veech群在模空间 $ M_g $ 中产生Teichmüller曲线，且这些曲线不与同余子群相关联。

提出的方法

• 将原发面的Veech群刻画为同态 $ \hat{\beta}: \mathrm{Aut}^+(F_2) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 的像，该同态映射到 $ F_2 $ 的有限指数子群的稳定子。
• 利用 $ \mathrm{Aut}^+(F_2) $ 在 $ F_2 $ 上的作用，定义子群 $ H_n \subset F_2 $，并将它们的稳定子与模 $ n $ 的同余条件联系起来。
• 通过自同构群方法，显式计算两个原发面 $ L(2,3) $ 和 $ D $ 的Veech群。
• 证明 $ L(2,3) $ 的Veech群包含矩阵 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} $，而 $ D $ 的Veech群包含 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix} $，并据此利用同余子群性质推断其为非同余子群。
• 从初始实例构造出原发面的无限序列 $ O_n $，通过包含链和同余水平条件证明其Veech群保持为非同余子群。
• 利用 $ \Gamma(H_0) = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Gamma(H_n) $ 且 $ \Gamma(H_n) $ 仅在 $ 3n \mid s $ 时包含元素的事实，证明非同余性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在每个亏格 $ g \geq 2 $ 中，是否存在Veech群为 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 的非同余子群的原发面？
• RQ2 原发面的Veech群能否通过自由群 $ F_2 $ 的自同构群来刻画？
• RQ3 是否存在显式构造的原发面，其Veech群为非同余子群？
• RQ4 能否从单个实例构造出此类原发面的无限族？
• RQ5 在本研究背景下，同余子群性质在区分同余与非同余Veech群中起什么作用？

主要发现

• 本文证明了对于每个亏格 $ g \geq 2 $，模空间 $ M_g $ 中存在一条原发面曲线，其Veech群是 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 的非同余子群。
• $ L(2,3) $ 的Veech群包含矩阵 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} $，而 $ D $ 的Veech群包含 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix} $，两者均不属于水平整除2或3的任何同余子群。
• 初始子群 $ H_0 $ 的Veech群 $ \Gamma(H_0) $ 在 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 中具有无限指数，这是非同余子群的关键性质。
• 对于从 $ L(2,3) $ 衍生出的原发面序列 $ O_n $，矩阵 $ \begin{pmatrix}1 & s \\ 0 & 1\end{pmatrix} $ 属于 $ \Gamma(O_n) $ 当且仅当 $ 3n \mid s $，这表明其为非同余子群。
• 该构造产生了具有非同余Veech群的原发面无限族，因为每个 $ \Gamma(O_n) $ 包含于 $ \Gamma(O) $，但不包含于任何水平整除 $ 3n $ 的同余子群。
• $ \Gamma(H_0) = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Gamma(H_n) $ 为非平凡且具有无限指数，从而确认 $ \Gamma(H_0) $ 不是同余子群。