[论文解读] Orlicz Spaces associated with a Semi-Finite Von Neumann Algebra

Sh. A. Ayupov, Vladimir Chilin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2011

Advanced Operator Algebra Research被引用 4

一句话总结

本文引入了与半有限冯诺依曼代数上忠实正规局部有限权相关的非交换Orlicz空间，将$ L_p $-空间的构造从迹推广至更一般情形。研究证明这些Orlicz空间与经典Orlicz空间$ L_\Phi(M,\tau) $等距同构，并在正则性及$ \delta_2/\Delta_2 $-条件成立时，可实现为局部可测算子的巴拿赫空间，其对偶空间等距同构于互补的Orlicz空间。

ABSTRACT

In the present paper we introduce a certain class of non commutative Orlicz spaces, associated with arbitrary faithful normal locally-finite weights on a semi-finite von Neumann algebra $M.$ We describe the dual spaces for such Orlicz spaces and, in the case of regular weights, we show that they can be realized as linear subspaces of the algebra of $LS(M)$ of locally measurable operators affiliated with $M.$

研究动机与目标

• 将非交换Orlicz空间的构造从基于迹的情形推广至半有限冯诺依曼代数上任意忠实正规局部有限权的情形。
• 刻画所构造的Orlicz空间的对偶空间，并建立其与互补Orlicz空间的等距同构关系。
• 在正则性及$ \delta_2/\Delta_2 $-条件下，证明Orlicz空间可实现为局部可测算子代数$ LS(M) $的子空间。
• 利用谱理论与权诱导范数，将$ L_p $-空间框架推广至Orlicz空间。

提出的方法

• 通过权$ \varphi $相对于迹$ \tau $的Radon-Nikodym导数$ h $定义包含范数的Orlicz空间$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $。
• 利用$ h $的谱分解及函数$ \Phi^{-1} $的反函数，构造到$ L_\Phi(M,\tau) $的等距嵌入。
• 借助$ \Phi $的$ \delta_2/\Delta_2 $-条件，通过线性映射$ U $建立$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $与$ L_\Phi(M,\tau) $之间的等距同构。
• 证明$ m_{\Phi,\alpha}^{\varphi,\tau} = M \cap \mathcal{L}_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $在$ \mathcal{L}_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $中稠密，从而保证完备性。
• 利用$ h $与$ h^{-1} $的局部可测性，证明$ \Phi^{-1}(h) $及其逆也是局部可测的，从而实现Orlicz空间的算子表示。
• 应用对偶性理论，证明$ (L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau))^* \cong L_\Psi(M,\tau) $，且当$ \Psi $也满足$ \delta_2/\Delta_2 $-条件时，空间具有自反性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为半有限冯诺依曼代数上任意忠实正规局部有限权（而不仅限于迹）构造非交换Orlicz空间？
• RQ2 所构造的Orlicz空间$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $的对偶空间是什么？其与经典Orlicz空间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $可实现为局部可测算子的巴拿赫空间？
• RQ4 $ N $-函数$ \Phi $的$ \delta_2/\Delta_2 $-条件如何影响Orlicz空间的对偶性与自反性？
• RQ5 是否存在$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $与$ L_\Phi(M,\tau) $之间的典范等距同构？其构造方式如何？

主要发现

• 在$ \Phi $满足$ \delta_2/\Delta_2 $-条件时，对任意$ \alpha \in [0,1] $，Orlicz空间$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $与经典Orlicz空间$ L_\Phi(M,\tau) $等距同构。
• 对偶空间$ (L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau))^* $与$ L_\Psi(M,\tau) $等距同构，其中$ \Psi $是$ \Phi $的互补$ N $-函数。
• 若$ \Phi $与$ \Psi $均满足$ \delta_2/\Delta_2 $-条件，则$ (L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau))^* \cong L_{\Psi,\beta}(M,\varphi,\tau) $，表明$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $具有自反性。
• 当$ \varphi $为正则局部有限权且$ \Phi $满足$ \delta_2/\Delta_2 $-条件时，空间$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $可等同于$ \mathcal{L}_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) \subset LS(M) $，即局部可测算子空间。
• $ \mathcal{L}_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) $在Luxemburg型范数$ \|\cdot\|_{\Phi,\alpha}^{\varphi,\tau} $下构成巴拿赫空间，且$ m_{\Phi,\alpha}^{\varphi,\tau} $在其内稠密。
• Orlicz空间可表示为$ L_{\Phi,\alpha}(M,\varphi,\tau) = (\Phi^{-1}(h))^{-\alpha} L_\Phi(M,\tau) (\Phi^{-1}(h))^{\alpha-1} \subset LS(M) $，其中$ h $为$ \varphi $关于$ \tau $的Radon-Nikodym导数。