[论文解读] Orthogonal polynomials of several variables

Yuan Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 126被引用 72

一句话总结

一章全面详述多变量正交多项式理论：通过矩函数 foundation，Gram–Schmidt 构造，三项关系，零点，核，以及特定的二维系统。

ABSTRACT

Preliminary version of Chapter 2 in the book "Encyclopedia of Special functions: The Askey-Bateman Project, Vol. 2: Multivariate special functions", T. H. Koornwinder and J. V. Stokman (eds.), Cambridge University Press, 2021.

研究动机与目标

• 激发并形式化对多变量正交多项式的研究。
• 通过矩函数定义非退化内积并建立正交基的存在性。
• 概述多变量 Gram–Schmidt 框架及 V_n^d 的标准形基底。
• 给出多变量三项关系及其对递归与算子结构的含义。
• 讨论多变量正交多项式的零、数值积分公式以及再生核。

提出的方法

• 定义并使用矩函数在多变量多项式上得到内积。
• 通过选定的单项式顺序利用 Gram–Schmidt 构造多变量正交多项式。
• 陈述并使用带系数矩阵 A_{n,i}、B_{n,i}、C_{n,i} 的多变量三项关系。
• 引入分块雅可比矩阵 J_i 来实现坐标乘法，并将其与可交换自伴算子联系起来。
• 推导再生核 P_n(x,y) 和 Christoffel–Darb 模型类型公式用于傅里叶展开。
• 讨论高斯数值求积、存在性条件及界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时由矩函数诱导的非退化内积能生成一整套多变量正交多项式？
• RQ2 如何通过三项关系和矩阵系数将 Favard 定理推广到多变量？
• RQ3 多变量正交多项式的零点与数值积分公式之间的关系是什么，何时存在高斯公式？
• RQ4 再生核与傅里叶展开如何用多变量正交多项式表示？
• RQ5 在何种条件下，多变量正交多项式对应具有紧支集的测度与确定矩问题？

主要发现

• 矩阵 Delta_{n,d} 非退化（Delta_{n,d} ≠ 0）等价于存在 V_n^d 的正交基。
• 单纯正交多项式 P_α^n 存在并构成 V_n^d 的基；正定性强制 Δ_{n,d} 为正。
• 存在有限项三项关系，系数矩阵 A_{n,i}、C_{n,i} 全秩，且 B_{n,i} 对称，i=1,...,d。
• 正交多项式可通过互相可交换的分块雅可比矩阵描述，连接到乘算子与谱理论。
• 在适当条件下，P_n 的零点为实且互异且简单；它们的结构与分块雅可比矩阵的联合特征值相关。
• 次数为 2n-1 的 Gaussian 数值积分存在当且仅当 P_n 具有 dim Π_{n-1}^d 的公零；中心对称测度阻碍此类 Gaussian 数值积分。