[论文解读] Output Feedback Control of Inhomogeneous Parabolic PDEs with Point Actuation and Point Measurement using SOS and Semi-Separable Kernels

Aditya Gahlawat, Matthew M. Peet|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于平方和（SOS）与半可分核的控制方法，用于设计一维非齐次抛物型偏微分方程（PDE）在点驱动与点测量条件下的输出反馈控制器。通过使用SOS多项式和正定矩阵参数化二次型李雅普诺夫函数、控制器与观测器，该方法将稳定性与有限 $L_2$-增益条件转化为线性算子不等式（LOI），并提供数值证据表明：当多项式次数足够高时，该方法在可控制与可观测系统上均能成功实现。

ABSTRACT

In this paper we use SOS and SDP to design output feedback controllers for a class of one-dimensional parabolic partial differential equations with point measurements and point actuation. Our approach is based on the use of SOS to search for positive quadratic Lyapunov functions, controllers and observers. These Lyapunov functions, controllers and observers are parameterized by linear operators which are defined by SOS polynomials. The main result of the paper is the development of an improved class of observer-based controllers and evidence which indicates that when the system is controllable and observable, these methods will find a observer-based controller for sufficiently high polynomial degree (similar to well-known results from backstepping).

研究动机与目标

• 设计仅基于点测量与点驱动的一维非齐次抛物型PDE的输出反馈边界控制器。
• 将先前基于SOS的控制方法扩展至处理非齐次、可能不稳定的PDE，超越齐次情形。
• 利用半可分核与由SOS多项式参数化的正算子，构建更广泛的李雅普诺夫函数类。
• 为通过线性算子不等式（LOI）提供可数值验证的条件，以稳定闭环系统。
• 通过数值示例表明：当多项式次数足够高时，该方法在可控制与可观测系统上均能成功实现。

提出的方法

• 该方法使用平方和（SOS）多项式参数化定义PDE状态二次型李雅普诺夫函数的正算子。
• 李雅普诺夫函数由局部项 $M(x)w(x)^2$ 与具有半可分核 $K(x,\xi)$ 的非局部积分项组合而成，核函数通过多项式 $K_1$ 与 $K_2$ 分段定义。
• 控制器与观测器基于Luenberger观测器结构设计，要求误差动态系统对扰动具有有限 $L_2$-增益。
• 稳定性条件被表述为线性算子不等式（LOI），并通过核函数与乘子函数的参数化转化为平方和（SOS）规划问题。
• 所得优化问题通过半定规划（SDP）求解，从而实现控制器与观测器增益的数值计算。
• 通过分部积分法与核函数的对称性，精确处理边界条件与迹项。

实验结果

研究问题

• RQ1 SOS方法能否扩展至稳定具有点驱动与点测量的非齐次抛物型PDE？
• RQ2 使用半可分核的更广泛李雅普诺夫函数类是否相比简单形式能提升PDE控制器设计性能？
• RQ3 当多项式次数足够高时，该方法是否对任意可控制与可观测系统均能实现有限 $L_2$-增益控制？
• RQ4 SOS与SDP能否有效参数化控制器、观测器与李雅普诺夫函数，从而确保闭环稳定性？
• RQ5 半可分核结构在构建PDE有效李雅普诺夫函数中起到何种作用？

主要发现

• 所提方法成功利用SOS与半可分核设计出具有点驱动与点测量的一维非齐次抛物型PDE的输出反馈控制器。
• 半可分核的使用使李雅普诺夫函数类更加丰富，相比以往方法提升了灵活性与潜在稳定性能力。
• 数值结果表明，该方法实现了闭环系统的有限 $L_2$-增益，表明对外部扰动具有鲁棒性。
• 提供了证据（虽非正式证明）表明：当核近似多项式次数足够高时，该方法可稳定任意可控制与可观测系统。
• 该方法将无限维控制问题转化为有限维SOS/SDP规划问题，可通过标准求解器实现数值求解。
• 该方法通过引入非齐次项与更复杂的核结构，推广了以往针对齐次PDE的工作。