[论文解读] Overdetermined 2D Systems Invariant in One Direction and Their Transfer Functions

Andrey Melnikov, Victor Vinnikov|ArXiv.org|Dec 19, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文为在某一变量（时间）上不变的超定2D系统发展了一套广义经典1D系统理论的载体理论。它引入了一类记为 $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ 的传递函数，该类函数将带有谱参数的常微分方程解相互关联，并建立了类似Mittag-Leffler的实现定理，表明此类传递函数可从其极点三元组和连接条件重构，从而将因式分解与实现理论推广至具有谱参数依赖性的时变2D系统。

ABSTRACT

In this work we develop a theory of Vessels. This object arises in the study of overdetermined 2D systems invariant in one of the variables, which are usually called time invariant. To each overdetermined time invariant 2D systems there is associated a vessel, which is a collection of system operators satisfying certain relations and vise versa. Such an invariance forces the theory of vessels to resemble a constant (classical) 1D case and as a result many notions are naturally redefined and most theorems are reproved in this setting. The notion of transfer function and its connection to the overdetermined 2D time invariant system (and the corresponding vessel) is one of the topics of this work. It is well known that multiplicative structure of a transfer function of a 1D system is closely connected to the decomposition of the state space into invariant subspaces of the state operator and we generalize this result to a wider class of functions. This class (denoted by $\boldsymbol {\mathcal I}$) arises as a class of transfer functions, which intertwine solutions of ODEs with spectral parameters. At the end we present solution of factorization problems for finite dimensional case.

研究动机与目标

• 为在某一方向（如时间）上不变的超定2D系统发展基于载体的理论框架，广义化经典1D系统理论。
• 定义并表征一类 $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ 的传递函数，该类函数将带有谱参数的常微分方程解相互关联，广义化1D系统中的乘法结构结果。
• 利用极点三元组与含谱参数的微分方程，为 $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ 中的解析矩阵函数建立实现定理。
• 通过从其极点数据与连接条件重构传递函数，解决有限维情况下的因式分解问题。

提出的方法

• 理论基于2D系统的积分形式，导出一族连续的希尔伯特空间与半群，从而允许对算子施加更弱的假设。
• 将载体定义为满足特定代数与微分关系的一组系统算子，包括相容性条件与规范拟相似性。
• 传递函数 $S(\lambda, t_2)$ 定义为 $D(t_2) + C(t_2)(\lambda I - A_1(t_2))^{-1}B_1(t_2)\sigma_1(t_2)$，其中 $A_1(t_2)$、$C(t_2)$、$B_1(t_2)$ 与 $D(t_2)$ 满足含谱参数 $\lambda$ 的常微分方程。
• 类 $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ 由将含谱参数的常微分方程解相互关联的函数构成，广义化了1D系统中观察到的乘法结构。
• 推导出连接条件（2.10.Link），以确保传递函数 $S(\lambda, t_2)$ 将一个常微分方程的解映射为具有相同谱参数 $\lambda$ 的另一常微分方程的解。
• 证明了类似Mittag-Leffler的实现定理：给定一个常数谱矩阵 $A$，以及满足常微分方程与连接条件的演化 $C(t_2)$、$B(t_2)\sigma_1(t_2)$ 与解析 $D(t_2)$，传递函数 $S(\lambda, t_2)$ 被完全重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当传递函数依赖于谱参数 $\lambda$ 与时间变量 $t_2$ 时，如何表征2D时不变系统的传递函数？
• RQ2 何种条件可确保通过预解式表达定义的矩阵函数 $S(\lambda, t_2)$ 将一个含谱参数 $\lambda$ 的常微分方程的解映射为另一个含相同 $\lambda$ 的常微分方程的解？
• RQ3 能否从其极点三元组与相关微分方程重构 $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ 类中的传递函数？
• RQ4 连接条件在确保系统算子演化与传递函数动力学之间的一致性中起何种作用？
• RQ5 该理论如何将经典1D系统实现与因式分解定理推广至2D时不变、谱参数依赖的设定？

主要发现

• 对于 $t_1$-不变的2D系统，传递函数 $S(\lambda, t_2)$ 定义为 $D(t_2) + C(t_2)(\lambda I - A_1(t_2))^{-1}B_1(t_2)\sigma_1(t_2)$，其中 $A_1(t_2)$、$C(t_2)$、$B_1(t_2)$ 与 $D(t_2)$ 通过含谱参数 $\lambda$ 的常微分方程演化。
• 类 $\boldsymbol{\mathcal{I}}$ 通过包含将含谱参数的常微分方程解相互关联的函数，广义化了1D系统的乘法结构，扩展了经典因式分解理论。
• 建立了类似Mittag-Leffler的实现定理：给定一个常数谱矩阵 $A$，以及满足输出方程与逆输入方程的演化 $C(t_2)$、$B(t_2)\sigma_1(t_2)$ 与解析 $D(t_2)$，传递函数 $S(\lambda, t_2)$ 被完全确定。
• 连接条件（2.10.Link）是确保 $S(\lambda, t_2)$ 在常微分方程映射中保持谱参数 $\lambda$ 的必要且充分条件，从而保证时间演化中的一致性。
• 传递函数满足一个涉及 $\sigma_1$、$\sigma_2$、$\gamma$ 与 $\gamma_*$ 的微分方程（8.7），该方程等价于系统的相容性与规范拟相似性结构。
• 当系统算子满足常微分方程与连接条件时，可从其极点三元组重构 $S(\lambda, t_2)$，从而将有限维实现与因式分解广义化至2D时不变情形。