[论文解读] Overpseudoprimes, and Mersenne and Fermat numbers as primover numbers

Vladimir Shevelev, Gilberto García-Pulgarín+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文引入了以 $b$ 为底的超伪素数，即强伪素数的一个子类，其特征为：对于合数 $n$ 的所有大于 1 的因数 $d$，乘法阶 $|b|_d$ 保持不变。本文证明了所有合数梅森数 $2^p - 1$ 和威费里希素数的平方都是以 2 为底的超伪素数，并在特定数论条件下建立了广义费马数和梅森数为以 $b$ 为底的原生数（primover）。

ABSTRACT

We introduce a new class of pseudoprimes-so called "overpseudoprimes to base $b$", which is a subclass of strong pseudoprimes to base $b$. Denoting via $|b|_n$ the multiplicative order of $b$ modulo $n$, we show that a composite $n$ is overpseudoprime if and only if $|b|_d$ is invariant for all divisors $d>1$ of $n$. In particular, we prove that all composite Mersenne numbers $2^{p}-1$, where $p$ is prime, are overpseudoprime to base 2 and squares of Wieferich primes are overpseudoprimes to base 2. Finally, we show that some kinds of well known numbers are overpseudoprime to a base $b$.

研究动机与目标

• 定义并表征一类新的伪素数——以 $b$ 为底的超伪素数，其强度超过标准伪素数。
• 建立合数 $n$ 为以 $b$ 为底的超伪素数的充要条件，该条件基于 $|b|_d$ 在所有整除 $n$ 且大于 1 的 $d$ 上的不变性。
• 证明所有合数梅森数 $2^p - 1$ 和威费里希素数的平方都是以 2 为底的超伪素数。
• 将该概念推广至任意底数 $b>1$，并识别出若干数列（如广义费马数和梅森数）在特定条件下为以 $b$ 为底的原生数。
• 利用代数数论工具，探索分圆陪集、乘法阶与原生数/超伪素数性质之间的联系。

提出的方法

• 将以 $b$ 为底的超伪素数定义为合数 $n$，使得对所有整除 $n$ 且大于 1 的 $d$，$|b|_d$ 为常数，并将其与模 $n$ 下 2 的分圆陪集联系起来。
• 利用分圆陪集 $C_s$ 的结构及其大小 $|C_s| = |2|_{n / \text{gcd}(n,s)}$，推导出以 2 为底的超伪素数满足的条件 $n = r(n) \cdot |2|_n + 1$。
• 利用乘法阶与最大公因数的性质，证明 $n$ 是以 2 为底的超伪素数当且仅当对所有整除 $n$ 且大于 1 的 $d$，有 $|2|_d = |2|_n$。
• 应用分圆多项式 $\Phi_n(b)$ 及其与 $n$ 的最大公因数理论，以确定原生数。
• 利用条件 $\gcd(n, \Phi_n(b)) = 1$ 或 $p$（其中 $p$ 是 $n$ 的最大素因数）来刻画原生数。
• 利用广义费马数和梅森数的已知结果，证明在 $\gcd(p, b-1) = 1$ 或 $n$ 为素数等条件下，它们为以 $b$ 为底的原生数。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么特征使一个合数 $n$ 成为以 $b$ 为底的超伪素数？
• RQ2 为何所有合数梅森数 $2^p - 1$ 都是 2 为底的超伪素数？
• RQ3 在何种条件下，广义费马数 $b^{2^n} + 1$ 为以 $b$ 为底的原生数？
• RQ4 在何种条件下，广义梅森数 $\frac{b^p - 1}{b - 1}$ 为以 $b$ 为底的原生数？
• RQ5 分圆多项式与乘法阶如何与原生数和超伪素数的性质相关联？

主要发现

• 当且仅当对所有整除 $n$ 且大于 1 的 $d$，有 $|2|_d = |2|_n$ 时，奇合数 $n$ 才是以 2 为底的超伪素数。
• 所有形如 $M_p = 2^p - 1$ 的合数梅森数（其中 $p$ 为素数）都是以 2 为底的超伪素数。
• 威费里希素数的平方都是以 2 为底的超伪素数。
• 当 $b$ 为偶数时，广义费马数 $F_n(b) = b^{2^n} + 1$ 是以 $b$ 为底的原生数。
• 当 $\gcd(p, b - 1) = 1$ 时，广义梅森数 $M_p(b) = \frac{b^p - 1}{b - 1}$ 是以 $b$ 为底的原生数。
• 对于 $N = \Phi_{pq}(b)$，其中 $q < p$ 为素数，$N$ 是以 $b$ 为底的原生数当且仅当 $p \nmid N$；否则 $N/p$ 是以 $b$ 为底的原生数。