[论文解读] Overview of Blakley's Secret Sharing Scheme

Alireza Shamsoshoara|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2019

Cryptography and Data Security参考文献 9被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于Blakley方案的几何秘密共享方法，其中秘密被编码为t维空间中的一个点，并通过超平面进行分发；通过模素数的线性方程组求解来重建秘密，使用MATLAB GUI实现并分析性能，结果显示随着素数增大，计算时间呈指数增长。

ABSTRACT

In this report, I explained the problem of Secret Sharing Scheme. Then based on the definition of the problem, two old methods: Blakley's Secret Sharing Scheme and Shamir's Secret Sharing are introduced. However, we explained the details of the first one since it's the topic of this work. Blakley's method has an application in distributing a key between different parties and reconstructing the key based on each share. However, this method is not efficient enough because of too large space states. Also, we tried to simulate a scenario for spreading a key between some users and tried to reconstruct the first key using Matlab in a graphical user interface.

研究动机与目标

• 解释Blakley的秘密共享方案作为一种几何门限方案，用于在多个参与方之间分发和重建秘密。
• 通过具体示例和基于MATLAB的仿真，展示Blakley方法的可行性和局限性。
• 分析该方案的计算性能，特别是素数模数大小对求解时间的影响。
• 将Blakley方案与Shamir方案进行比较，突出其在存储空间上的低效性以及缺乏广泛应用的问题。
• 探讨Blakley几何方法在现代密码学中的近期应用，如秘密图像共享和门限RSA签名。

提出的方法

• 秘密在t维空间中表示为点(x₀, y₀, z₀)，秘密值为x₀。
• 每位持有者接收一个形如z ≡ ax + by + c mod p的超平面方程，其中系数a、b、c为随机选择。
• 通过求解线性方程组Cx ≡ y mod p来重建秘密，其中C为系数矩阵，y为常数向量。
• 使用有限域GF(p)中的矩阵C的逆矩阵求解，要求det(C) ≠ 0 mod p。
• 实现了一个MATLAB GUI，允许用户输入参数，如素数p、持有者数量、门限t和秘密密钥。
• 算法使用gflineq函数在有限域上求解线性系统，并记录计算时间以进行性能评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在多个参与方之间分发秘密，使得仅当达到门限数量的份额被集合时才能重建秘密？
• RQ2 与Shamir方案相比，Blakley的几何秘密共享在计算效率和空间效率方面存在哪些权衡？
• RQ3 素数模数p的大小如何影响Blakley方案中求解线性系统的耗时？
• RQ4 Blakley方案能否通过MATLAB中的图形用户界面实现有效实现和可视化？
• RQ5 Blakley方法在现代密码学中的实际应用有哪些，例如秘密图像共享或门限签名？

主要发现

• 当在模73下求解三个超平面方程的线性方程组时，Blakley方案成功重建了秘密密钥x₀ = 42。
• 该方案在空间效率上表现不佳，因为每位持有者必须存储完整的超平面方程，且由于秘密在超平面上的位置存在信息泄露，导致不满足完美安全性。
• 仿真结果表明，随着素数模数增大，求解线性系统的计算时间呈指数增长，该结果基于前100个素数的模拟。
• MATLAB GUI实现支持参数的交互式配置和实时求解计算，便于性能基准测试。
• 尽管理论基础坚实，但由于效率低下，Blakley方案在实践中应用有限，导致Shamir方案更为流行。
• 近期应用包括秘密图像共享和门限RSA签名，其中Blakley的几何基础与其他技术结合，以增强功能。