[论文解读] p-adic L-functions for unitary groups, part II: zeta-integral calculations

Ellen Eischen, Michael Harris+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用 10

一句话总结

本文通过计算欧拉乘积中的局部zeta积分（包括在素数p处），完成了为单位群构造p进L函数的关键计算，并推进了第三部分中完整构造所需的几何框架，基于Eisenstein测度和近期数论成果。

ABSTRACT

This paper completes key steps toward a construction of $p$-adic $L$-functions for unitary groups. More precisely, in 2006, the last three authors proposed an approach to constructing $p$-adic $L$-functions for unitary groups. Building on more recent results, including the first author's construction of Eisenstein measures, the present paper provides the calculations of local $\zeta$-integrals occurring in the Euler product (including at $p$) and also continues to develop the substantial geometric framework that will be necessary for concluding the construction of $p$-adic $L$-functions in Part III.

研究动机与目标

• 完成单位群p进L函数欧拉乘积中局部zeta积分的计算。
• 将素数p处的局部积分整合到整体欧拉乘积结构中。
• 扩展第三部分中p进L函数完整构造所必需的几何框架。
• 将近期进展（包括第一作者对Eisenstein测度的构造）整合到zeta积分框架中。
• 确保所有素点（包括p进素点）的局部因子之间的一致性与兼容性，以获得最终的p进L函数。

提出的方法

• 使用表示论与p进分析技术，计算所有有限素点（包括素数p）处的局部zeta积分。
• 应用Eisenstein测度理论，以控制L函数的p进插值性质。
• 利用先前工作中发展的几何框架，将zeta积分解释为算术商与Shimura簇的形式。
• 运用自守形式与L函数理论，将zeta积分与标准L函数的特殊值联系起来。
• 通过仔细分析积分的p进变体，建立所有素点处局部因子之间的兼容性。
• 依赖近期在p进模形式与上同调构造方面的成果，以确保积分定义良好且可p进插值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在p进L函数构造的背景下，如何计算单位群在素数p处的局部zeta积分？
• RQ2 p进L函数欧拉乘积中p处局部因子的精确结构是什么？
• RQ3 有限素点（包括p）处的zeta积分如何组合成一个一致的p进L函数？
• RQ4 支撑zeta积分计算并支持p进插值的几何与上同调结构是什么？
• RQ5 如何利用Eisenstein测度控制zeta积分的p进行为并确保插值性质？

主要发现

• 本文计算了素数p处的局部zeta积分，确认其在p进L函数欧拉乘积中的作用。
• 建立了p处局部积分与单位群全局欧拉乘积结构之间的兼容性。
• 几何框架得到推进，以支持第三部分中p进L函数的构造。
• 计算结果与Eisenstein测度理论一致，并为p进插值提供了基础。
• 结果确保所有素点（包括p）处的zeta积分定义良好，适合进行p进解析延拓。
• 本工作完成了2006年提出的单位群p进L函数完整构造中的关键技术步骤。