[论文解读] $p$-Central Subspaces of Central Simple Algebras

Adam Chapman|arXiv (Cornell University)|May 31, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 4

一句话总结

本论文研究中心单代数中的 $p$-中心子空间，特别关注克莱夫福德代数、循环代数的张量积以及链引理。通过构造有限维表示，解决了 $p$-中心形式的有限线性化问题；证明了在标准生成元下，四次循环代数中 4-中心子空间的最大维数为 5；并在所有特征下建立了双四元数代数的链引理，为四元数矩阵的左特征值提供了计算框架。

ABSTRACT

We study central simple algebras in various ways, focusing on the role of $p$-central subspaces. The first part of my thesis is dedicated to the study of Clifford algebras. The standard Clifford algebra of a given form is the generic associative algebra containing a $p$-central subspace whose exponentiation form is equal to the given form. There is an old question as for whether these algebras have representations of finite rank over the center, and jointly with Daniel Krashen and Max Lieblich we managed to provide a positive answer. Different generalizations of the structure of the Clifford algebra are presented and studied in that part too. The second part is dedicated to the study of $p$-central subspaces of given central simple algebras, mainly tensor products of cyclic algebras of degree $p$. Among the results, we prove that $5$ is the upper bound for the dimension of 4-central subspaces of cyclic algebras of degree 4 containing pairs of standard generators. The third part is dedicated to chain lemmas. Chain lemmas are of importance in the theory of central simple algebras, because they form one approach to solving the word problem for the Brauer group. We prove the chain lemma for biquaternion algebras, both in characteristic 2 and characteristic not 2, and prove some partial results on the chain lemmas for cyclic algebras of degree $p$. The fourth part is dedicated to the more computational aspects of the theory. It contains results on quaternion polynomial equations and on left eigenvalues of quaternion matrices.

研究动机与目标

• 通过构造相关克莱夫福德代数的有限维表示，解决 $p$-中心形式的有限线性化问题。
• 确定在张量积的循环代数中 $p$-中心子空间的最大可能维数，特别是 $p=4$ 的情形。
• 在特征 2 和奇特征下，建立双四元数代数的链引理，推进布劳尔群中的字问题研究。
• 开发用于求解多项式方程和计算四元数矩阵代数中左特征值的计算工具。

提出的方法

• 将标准克莱夫福德代数构造为包含具有给定幂形式的 $p$-中心子空间的通用结合代数。
• 对非交换变量中的多项式应用递归约化过程，降低单项式长度的同时保持 $p$-中心元素，以证明有限表示性。
• 利用极大子域和分解技术分析 $p$-循环代数中 $p$-中心元素的链。
• 使用迪厄多内行列式以及同构 $h: D_G[z] \to D\langle x_1,\dots,x_N\rangle$ 定义除法代数上矩阵的特征多项式。
• 通过分块矩阵分解，将 $4\times 4$ 四元数矩阵的左特征值计算归约为求解三个二次和一个六次多项式。
• 当 $C$ 可逆时，应用公式 $\lambda$ 是左特征值 $\iff e(\lambda)\overline{e(\lambda)}h(\lambda) - g(\lambda)\overline{e(\lambda)}f(\lambda) = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $p$-中心形式是否都存在其中心上的有限维表示？
• RQ2 在包含标准生成元的两个四次循环代数的张量积中，4-中心子空间的最大维数是多少？
• RQ3 在特征 2 下，双四元数代数的链引理是否成立？
• RQ4 如何比通过完整特征多项式更高效地计算 $4\times 4$ 四元数矩阵的左特征值？
• RQ5 是否存在一个除法代数上的一般多项式环与自由幺半群上的群环之间的典范同构？

主要发现

• $p$-中心形式的有限线性化问题有正解：相关克莱夫福德代数在中心上存在有限维表示。
• 在包含标准生成元的两个四次循环代数的张量积中，4-中心子空间的最大维数被限制在 5。
• 在特征 2 和奇特征下，双四元数代数的链引理成立，为布劳尔群中的字问题提供了关键工具。
• 对于底左块可逆的 $4\times 4$ 四元数矩阵，左特征值由一个包含三个二次和一个六次多项式的方程组决定。
• 除法代数上矩阵的特征多项式通过同构 $h^{-1}(\det(\widehat{A - \lambda I}))$ 定义，其结果为关于矩阵大小和除法代数次数的 $kd$ 次多项式。
• 四元数代数中多项式的共轭可通过显式公式计算，从而可从矩阵分块推导出特征值条件。