[论文解读] P. Etingof's conjecture about Drinfeld associators

Carlo A. Rossi, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 17

一句话总结

本文通过从紧化配置空间和传播子导出的积分公式，构建了一个连续的 Drinfeld 关联器族，该族在 Knizhnik–Zamolodchikov、Alekseev–Torossian 和反 Knizhnik–Zamolodchikov 关联器之间插值。通过证明 P. Etingof 的猜想，表明 Alekseev–Torossian 关联器的对数属于 Grothendieck–Teichmüller 李代数中奇数阶元素生成的李代数，并为相关的稳定形式化同构和图上同调类提供了显式积分表达式。

ABSTRACT

We construct a family of Drinfeld associators interpolating between the Knizhnik-Zamolodchikov associator, the Alekseev-Torossian associator and the anti-Knizhnik-Zamolodchikov associator. We give explicit integral formulæ for the family of elements of the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra tangent to the family of associators. As an application, we settle a conjecture of Pavel Etingof about the Alekseev-Torossian associator. Furthermore, we give explicit integral formulæ for the family of stable formality morphisms corresponding (in a precise way) to the above family of associators, and for the family of graph cohomology classes corresponding to the above family of elements of the Grothendieck-Teichmüller Lie algebra. It follows in particular that the ``logarithmic'' Kontsevich formality morphism corresponds to the Knizhnik-Zamolodchikov associator.

研究动机与目标

• 解决 P. Etingof 关于 Alekseev–Torossian Drinfeld 关联器代数结构的猜想。
• 构建一个连续的 1 参数族 Drinfeld 关联器，插值于 KZ、AT 和 anti-KZ 关联器之间。
• 为 Grothendieck–Teichmüller 李代数中的相应元素及相关的稳定形式化同构提供显式积分公式。
• 建立对数 Kontsevich 形式化同构与 Knizhnik–Zamolodchikov 关联器之间的精确联系。
• 推导出自关联器族的图上同调类的积分表达式。

提出的方法

• 使用实参数 t ∈ [0,1] 在紧化配置空间上构造一族奇异传播子。
• 在紧化配置空间上应用正规化 Stokes 定理，定义权形式并推导上同调类。
• 通过在配置空间上积分，推导一族稳定形式化同构 U^t 的 Maurer–Cartan 方程。
• 计算形式化同构 U^t 的导数，得到 Kontsevich 图复形中的图上循环族。
• 建立从图复形到李代数 sder_2 的映射，从而得到 grt_1 中的元素 τ^t。
• 应用规范变换和平坦联络技术，将 AT 联络与关联器族联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Alekseev–Torossian 关联器的对数是否属于 grt_1 中奇数阶元素生成的李代数？
• RQ2 能否构建一个连续的 Drinfeld 关联器族，插值于 KZ、AT 和 anti-KZ 关联器之间？
• RQ3 对数 Kontsevich 形式化同构是否与 Knizhnik–Zamolodchikov 关联器相关联？
• RQ4 与关联器族相关的权形式是否在图复形中产生良定义的上同调类？
• RQ5 通过积分公式构造的稳定形式化同构族是否可正规化且在上同调上一致？

主要发现

• 本文证明了 Etingof 的猜想：Alekseev–Torossian 关联器的对数属于由 σ₃, σ₅, ... 生成的李代数，从而确认了猜想的弱形式。
• Etingof 猜想的强形式也得到证实：将 KZ 映射到 anti-KZ 的元素 g ∈ GRT₁ 等于 a²，其中 a 将 KZ 映射到 AT。
• Knizhnik–Zamolodchikov 关联器恰好对应于对数 Kontsevich 形式化同构。
• 为与插值关联器族相关的稳定形式化同构族提供了显式积分公式。
• 由形式化同构 τ^t 的导数导出的图上循环族被证明是良定义的，且在上同调上非平凡。
• 与该族相关的权形式可正规化，其积分在参数 t 上产生一致有界的上同调类。