[论文解读] $ (p, N)-$Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical growth: existence and multiplicity

Eduardo de Souza Böer, Olı́mpio H. Miyagaki|arXiv (Cornell University)|May 24, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文通过变分法和一种新颖的技术引理，证明了在 $ackslash mathbbracesackslash mathbbraces^N$ 上具有指数临界增长的 $(p,N)$-Choquard 对数方程非平凡解的存在性与多重性，该引理确保了 Cerami 序列的有界性。在非线性项与卷积项满足适当的增长与强制条件时，本文证明了山路解的存在性、基态解的存在性，以及通过对称山路定理得到的无穷多解。

ABSTRACT

The present work is concerned with the following version of Choquard Logarithmic equations $ -Δ_p u -Δ_N u + a|u|^{p-2}u + b|u|^{N-2}u + λ(\ln|\cdot|\ast G(u))g(u) = f(u) extrm{ in } \mathbb{R}^N $ , where $ a, b, λ>0 $, $ \max\{\frac{N}{2}, 2 \} < p< N $, $f, g: \mathbb{R} ightarrow \mathbb{R} $ are continuous functions that behave like $ \exp(α|u|^{\frac{N}{N-1}}) $ at infinity, for $ α>0 $, and that has polynomial growth, respectively, and $ G(s)=\int\limits_{0}^{s}g(τ)dτ$. We prove the existence of a nontrivial solution at the mountain pass level and a nontrivial ground state solution. Also, using a version of the Symmetric Mountain-Pass Theorem, we get infinitely many solutions.

研究动机与目标

• 建立涉及具有指数临界增长的非线性项的 $(p,N)$-Choquard 对数方程非平凡解的存在性。
• 通过变分法证明在山路水平上存在非平凡解。
• 通过在 Nehari 流形上进行最小化，建立基态解的存在性。
• 通过某种对称山路定理的版本，证明存在无穷多解。
• 通过引入一个新技术引理，克服在非平移不变空间中 Cerami 序列无界性的挑战，从而确保其有界性（至多子列）。

提出的方法

• 将问题表述为在适当 Sobolev 空间 $X$ 上的 $C^1$ 泛函 $I$ 的临界点问题，其中包含 $(p,N)$-Laplacian 项与对数卷积项。
• 应用山路定理，证明在山路水平上存在非平凡临界点。
• 采用 Nehari 流形方法，通过在约束条件下最小化能量泛函，证明基态解的存在性。
• 引入一个新技术引理（引理 3.9），以确保在缺乏平移不变性时 Cerami 序列的有界性。
• 对偶泛函 $I$ 应用对称山路定理，获得无穷多组几何上互异的解。
• 利用 Moser-Trudinger 型不等式与指数非线性项的渐近估计，控制增长并确保紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有指数临界增长的 $(p,N)$-Choquard 对数方程是否在山路水平上存在非平凡解？
• RQ2 能否通过在 Nehari 流形上进行最小化，找到该方程的基态解？
• RQ3 在非平移不变空间中，泛函在何种条件下满足 Cerami 条件，尤其是当缺乏平移不变性时？
• RQ4 尽管缺乏完全紧致性，对称山路定理是否仍可应用于生成无穷多解？
• RQ5 对数卷积项的存在如何影响解的存在性与多重性，相较于标准 Choquard 方程有何不同？

主要发现

• 与方程相关的泛函 $I$ 在山路水平上满足 Cerami 条件，从而保证了非平凡临界点的存在性。
• 基态解作为 Nehari 流形上能量泛函的最小化器存在，对应于能量最低的非平凡解。
• 由于对称山路定理的应用，存在无穷多组几何上互异的解，其成立依赖于新提出的有界性引理（引理 3.9）。
• 通过一种新颖的技术论证，成功在子列意义下建立了 Cerami 序列的有界性，克服了范数缺乏平移不变性的障碍。
• 在条件 $(f_1')$--$(f_4)$ 与 $(g_1)$--$(g_5)$ 下，解的存在性得到保证，这些条件控制了非线性项及其原函数的增长。
• 本研究将先前关于具有指数增长的 Choquard 方程的研究成果推广到了包含 $(p,N)$-Laplacian 与对数卷积项的一般设定下。