[论文解读] Pairs of Fan-type heavy subgraphs for pancyclicity of 2-connected graphs

Bo Ning|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过引入一种类似Fan的重子图条件，建立了2-连通图为泛圈图的充分条件：若一个2-连通图同时是爪形-$f_1$-重子图且为$S$-$f_1$-重子图（其中$S = P_4$，$Z_1$，或$Z_2$），则该图是泛圈图。关键结果通过将禁止子图条件替换为基于度数的重子图条件，推广了Bedrossian的禁止子图刻画定理，并将Fan的哈密顿性准则扩展至泛圈性。

ABSTRACT

A graph $G$ on $n$ vertices is Hamiltonian if it contains a spanning cycle, and pancyclic if it contains cycles of all lengths from 3 to $n$. In 1984, Fan presented a degree condition involving every pair of vertices at distance two for a 2-connected graph to be Hamiltonian. Motivated by Fan's result, we say that an induced subgraph $H$ of $G$ is $f_1$-heavy if for every pair of vertices $u,v\in V(H)$, $d_{H}(u,v)=2$ implies $\max\{d(u),d(v)\}\geq (n+1)/2$. For a given graph $R$, $G$ is called $R$-$f_1$-heavy if every induced subgraph of $G$ isomorphic to $R$ is $f_1$-heavy. In this paper we show that for a connected graph $S$ with $S eq P_3$ and a 2-connected claw-$f_1$-heavy graph $G$ which is not a cycle, $G$ being $S$-$f_1$-heavy implies $G$ is pancyclic if $S=P_4,Z_1$ or $Z_2$, where claw is $K_{1,3}$ and $Z_i$ is the path $a_1a_2a_3... a_{i+2}a_{i+3}$ plus the edge $a_1a_3$. Our result partially improves a previous theorem due to Bedrossian on pancyclicity of 2-connected graphs.

研究动机与目标

• 通过引入基于度数的重子图条件，将Fan于1984年提出的哈密顿条件推广至泛圈性。
• 识别出除$P_3$外的连通图对$R$与$S$，使得$\{R,S\}$-$f_1$-重子图性在2-连通图中蕴含泛圈性。
• 通过将$\{R,S\}$-自由性替换为$\{R,S\}$-$f_1$-重子图性，推广Bedrossian的禁止子图定理。
• 解决Fan型条件向泛圈性的自然推广问题，特别是针对爪形与路径型子图。
• 为问题1（即刻画使得$f_1$-重子图性保证泛圈性的图对）提供部分解答。

提出的方法

• 定义$f_1$-重子图性：对任意同构于$R$的诱导子图$H$，若$d_H(u,v) = 2$，则$\max\{d(u), d(v)\} \geq (n+1)/2$。
• 使用超重对与$C$-距离的概念，分析圈结构，并在非泛圈性假设下导出矛盾。
• 应用归纳法与顶点删除技术，通过移除路径或圈上的顶点，从$G$构造更小的图$G'$，同时保持关键的度数与连通性性质。
• 利用已知结果：$P_3$-$f_1$-重子图性蕴含泛圈性，并通过爪形与$Z_2$-子图的结构分析将其推广。
• 基于非超重对与诱导子图（如爪形或$Z_2$）的存在性，采用反证法，利用$f_1$-重子图性条件强制产生高阶度顶点。
• 应用引理3（关于哈密顿圈与圈谱）证明：若$G'$具有哈密顿圈且满足$d_{G'}(x)+d_{G'}(y) \geq |G'|$，则$G'$为泛圈图或二分图，再通过三角形存在性排除二分图情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些连通图对$R$与$S$（满足$S \neq P_3$）能保证$\{R,S\}$-$f_1$-重子图性在2-连通图中蕴含泛圈性？
• RQ2 在泛圈性定理中，能否用诱导子图上的Fan型度数条件替代禁止子图条件？
• RQ3 在非圈的2-连通图中，$K_{1,3}$-$f_1$-重子图性与$P_4$-$f_1$-重子图性是否共同保证泛圈性？
• RQ4 $Z_2$-子图在$f_1$-重子图性下对强制泛圈性的角色是什么？
• RQ5 超重对与$C$-距离在证明$f_1$-重子图性下的泛圈性中起到何种作用？

主要发现

• 若一个2-连通图$G$同时是爪形-$f_1$-重子图与$Z_2$-$f_1$-重子图，且$G$不是圈，则$G$为泛圈图。
• 该结果表明，$K_{1,3}$-$f_1$-重子图性与$P_4$-$f_1$-重子图性共同蕴含2-连通图（非圈）的泛圈性。
• 本文证明了$K_{1,3}$-$f_1$-重子图性与$Z_1$-$f_1$-重子图性也蕴含泛圈性，从而以基于度数的条件推广了Bedrossian的结果。
• 当$n \geq 6$时，若$G$为$\{K_{1,3}, Z_2\}$-$f_1$-重子图且2-连通，则$G$包含长度从3到$n$的所有圈，除非存在小的例外情况。
• 证明通过反证法进行：假设$G$非泛圈图，然后通过超重对分析与度数约束导出结构矛盾。
• 本文确认$P_3$是唯一满足$S$-$f_1$-重子图性单独蕴含泛圈性的连通图$S$，这使得向图对推广的非平凡性得以体现。