[论文解读] Pansu pullback and exterior differentiation for Sobolev maps on Carnot groups

Bruce Kleiner, Stefan Müller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文为m步Carnot群中具有有限m阶矩的概率测度建立了广义的Buser-Karcher质心，实现了Sobolev映射的改进型光滑化与Pansu拉回逼近。关键贡献是在较弱的Sobolev指数假设下强化了拉回定理，从而在映射到Carnot群之间实现了更强的刚性与结构结果，并将相关应用拓展至非2步情形的拟正则映射。

ABSTRACT

We show that in an $m$-step Carnot group, a probability measure with finite $m^{th}$ moment has a well-defined Buser-Karcher center-of-mass, which is a polynomial in the moments of the measure, with respect to exponential coordinates. Using this, we improve the main technical result of our previous paper concerning Sobolev mappings between Carnot groups; as a consequence, a number of rigidity and structural results from recent papers hold under weaker assumptions on the Sobolev exponent. We also give applications to quasiregular mappings, extending earlier work in the $2$-step case to general Carnot groups.

研究动机与目标

• 将Buser-Karcher质心推广至m步Carnot群中具有有限m阶矩的概率测度，即使其具有非紧支集。
• 利用广义质心构造L^m_loc映射到m步Carnot群的光滑化过程。
• 通过放宽所需的Sobolev指数，强化Sobolev映射在Carnot群之间映射的Pansu拉回定理。
• 将先前工作中关于刚性与结构结果的结论推广至更弱的正则性假设。
• 将拟正则映射结果从2步情形推广至一般Carnot群。

提出的方法

• 通过条件 ∫ log_com_ν dν = 0 在m步Carnot群中具有有限m阶矩的测度上引入广义Buser-Karcher质心。
• 证明 log(com_ν) 是在 log_x0 下测度的推送的矩的多项式，从而实现显式计算。
• 利用广义质心构造L^m_loc映射到m步Carnot群的光滑化过程。
• 在特定权重与可积性条件下，建立普通拉回 f_ρ^*ω ∧ η 在 L^s_loc(U) 中收敛于Pansu拉回 f_P^*ω ∧ η。
• 利用微分形式的权重 wt(ω) 与定义域群的齐次维数 ν 控制收敛性。
• 将逼近结果应用于将刚性与结构定理推广至更低的Sobolev指数，并将拟正则映射结果推广至更高阶Carnot群。

实验结果

研究问题

• RQ1 Buser-Karcher质心能否推广至m步Carnot群中具有非紧支集的概率测度？
• RQ2 广义质心是否允许为映射到m步Carnot群的Sobolev映射构造出良好定义的光滑化过程？
• RQ3 能否通过放宽Sobolev指数要求来强化Pansu拉回定理？
• RQ4 Sobolev映射在Carnot群之间映射的刚性与结构结果在何种程度上仍能在更弱的可积性假设下成立？
• RQ5 能否利用改进的拉回框架将2步Carnot群中关于拟正则映射的结果推广至一般Carnot群？

主要发现

• 在任意具有有限m阶矩的概率测度下，m步Carnot群中的Buser-Karcher质心存在且唯一。
• 质心的对数是任意 log_x0 下测度推送的矩的多项式，从而实现显式可计算性。
• 利用广义质心构造了L^m_loc映射到m步Carnot群的光滑化过程，得到光滑逼近。
• 在权重、可积性与Sobolev指数的既定条件下，普通拉回 f_ρ^*ω ∧ η 在 L^s_loc(U) 中收敛于Pansu拉回 f_P^*ω ∧ η。
• 改进的拉回定理使得 [KMX20] 及相关工作的刚性与结构结果可推广至更低的Sobolev指数。
• 对拟正则映射的应用从2步推广至一般Carnot群，推广了 [Res89, HH97, Vod07b] 中的早期结果。