[论文解读] Parallel, Distributed, and Quantum Exact Single-Source Shortest Paths with Negative Edge Weights

Vikrant Ashvinkumar, Aaron Bernstein+6 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2023

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

该论文提出了一种统一框架，通过将问题约化为使用虚拟源点的非负权单源最短路径（SSSP）算法的no(1)次调用，实现了在并行、分布式和量子模型下求解带负权边的精确单源最短路径（SSSP）。关键贡献是将有向图中的低直径分解（LDD）高效约化为非负权SSSP，从而在所有三种模型中实现了近乎最优的工作量、跨度、轮数和查询复杂度，与当前最佳的可达性复杂度边界相比仅相差no(1)因子。

ABSTRACT

This paper presents parallel, distributed and quantum algorithms for single-source shortest paths when edges can have negative weights (negative-weight SSSP). We show a framework that reduces negative-weight SSSP in all these setting to $n^{o(1)}$ calls to any SSSP algorithm that works with a virtual source. More specifically, for a graph with $m$ edges, $n$ vertices, undirected hop-diameter $D$, and polynomially bounded integer edge weights, we show randomized algorithms for negative-weight SSSP with (i) $W_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ work and $S_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ span, given access to an SSSP algorithm with $W_{SSSP}(m,n)$ work and $S_{SSSP}(m,n)$ span in the parallel model, (ii) $T_{SSSP}(n,D)n^{o(1)}$, given access to an SSSP algorithm that takes $T_{SSSP}(n,D)$ rounds in $\mathsf{CONGEST}$, (iii) $Q_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ quantum edge queries, given access to a non-negative-weight SSSP algorithm that takes $Q_{SSSP}(m,n)$ queries in the quantum edge query model. This work builds off the recent result of [Bernstein, Nanongkai, Wulff-Nilsen, FOCS'22], which gives a near-linear time algorithm for negative-weight SSSP in the sequential setting. Using current state-of-the-art SSSP algorithms yields randomized algorithms for negative-weight SSSP with (i) $m^{1+o(1)}$ work and $n^{1/2+o(1)}$ span in the parallel model, (ii) $(n^{2/5}D^{2/5} + \sqrt{n} + D)n^{o(1)}$ rounds in $\mathsf{CONGEST}$, (iii) $m^{1/2}n^{1/2+o(1)}$ quantum queries to the adjacency list or $n^{1.5+o(1)}$ quantum queries to the adjacency matrix. Our main technical contribution is an efficient reduction for computing a low-diameter decomposition (LDD) of directed graphs to computations of SSSP with a virtual source. Efficiently computing an LDD has heretofore only been known for undirected graphs in both the parallel and distributed models.

研究动机与目标

• 设计高效并行、分布式和量子算法，用于求解带负权边的精确单源最短路径（SSSP）。
• 在所有三种模型中，将带负权边的SSSP约化为使用虚拟源点的非负权SSSP算法的no(1)次调用。
• 提出一种新颖的从有向低直径分解（LDD）到非负权SSSP的约化方法，从而在这些模型中实现高效计算。
• 使负权SSSP的复杂度与这些模型中已知最佳可达性复杂度边界相匹配或近乎匹配，意味着负权SSSP的任何改进都将意味着可达性复杂度的改进。
• 通过证明强连通分量（SCCs）的计算可约化为使用虚拟源点的SSSP，解决了CONGEST模型中的一个开放问题，从而以否定方式回答了[7]中的问题。

提出的方法

• 该框架通过一种新的从有向低直径分解（LDD）到非负权SSSP的约化方法，将带负权边的SSSP约化为使用虚拟源点的非负权SSSP算法的no(1)次调用。
• 提出了一种用于有向图中计算LDD的新算法，这是核心技术贡献，使得在所有三种模型中实现该约化成为可能。
• 重构了Bernstein等人[8]提出的缩放算法的递归结构，以适应并行和分布式环境，克服了各模型特有的挑战。
• 设计了一种从强连通分量（SCCs）计算到使用虚拟源点的SSSP的高效约化，从而以否定方式回答了[7]中提出的问题。
• 通过使用定制化技术（如并行模型中的工作量/跨度、CONGEST模型中的轮数、量子模型中的量子边查询），在所有模型中实现了no(1)的额外开销。
• 框架使用最短路径预言机和子程序组合（如ScaleDown、FixDAGEdges、EstDist）来在迭代过程中保持正确性和效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅通过非负权SSSP算法的黑盒访问，在并行、分布式和量子模型中高效求解带负权边的SSSP？
• RQ2 是否可以在所有三种模型中将有向低直径分解（LDD）约化为使用虚拟源点的非负权SSSP？
• RQ3 当非负权SSSP作为子程序可用时，求解带负权边SSSP所需的最小额外开销（以工作量、轮数或查询数衡量）是多少？
• RQ4 是否可以使带负权边SSSP的复杂度在这些模型中渐近等价于可达性复杂度，仅相差no(1)因子？
• RQ5 在CONGEST模型中，从SCC计算到使用虚拟源点的SSSP的约化是否解决了[7]中提出的开放问题？

主要发现

• 在并行模型中，框架实现了m1+o(1)的工作量和n1/2+o(1)的跨度，与当前可达性复杂度边界相比仅相差no(1)因子。
• 在CONGEST模型中，算法在(n2/5D2/5 + √n + D)no(1)轮内运行，与已知最佳可达性复杂度边界相比仅相差no(1)因子。
• 在量子模型中，算法对邻接表的查询次数为m1/2n1/2+o(1)，对邻接矩阵的查询次数为n1.5+o(1)，与已知的量子下界相比仅相差no(1)因子。
• 该有向LDD算法是并行和分布式模型中首个针对有向图的高效构造方法，此前仅知适用于无向图。
• 在CONGEST模型中，从SCC计算到使用虚拟源点的SSSP的约化，以否定方式回答了[7]中的开放问题，表明此类约化是可能的。
• 该框架表明，若在这些模型中对负权SSSP的改进超过no(1)因子，则必然意味着对最佳可达性复杂度边界的改进。