[论文解读] Parallel Metric-Based Mesh Adaptation in PETSc using ParMmg

Joseph G. Wallwork, Matthew G. Knepley+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2022

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 5

一句话总结

本论文将并行MPI的基于度量的网格自适应工具ParMmg集成至PETSc，实现了有限元模拟中可扩展的各向异性网格自适应。通过将ParMmg与PETSc的DMPlex网格管理机制结合，并支持黎曼度量的构建，该框架在具有均匀和空间变化右端项的三维泊松问题中实现了最优的$L^2$收敛率，证明了其在具有陡峭梯度或界面问题中优于均匀加密的性能。

ABSTRACT

This research note documents the integration of the MPI-parallel metric-based mesh adaptation toolkit ParMmg into the solver library PETSc. This coupling brings robust, scalable anisotropic mesh adaptation to a wide community of PETSc users, as well as users of downstream packages. We demonstrate the new functionality via the solution of Poisson problems in three dimensions, with both uniform and spatially-varying right-hand sides.

研究动机与目标

• 在PETSc科学计算库中实现可扩展、并行、基于度量的网格自适应。
• 支持PETSc用户及下游有限元软件（如Firedrake）生成高质量、各向异性、多尺度的网格。
• 证明基于度量的自适应在均匀加密失效时仍能实现最优收敛率，尤其适用于具有空间变化解或尖锐界面的问题。
• 为在PETSc的DMPlex框架内构建、组合和归一化黎曼度量提供稳健且可扩展的接口。
• 通过一致的并行网格到网格插值，为目标导向的自适应有限元模拟奠定基础，从而减少自由度数量。

提出的方法

• 使用PETSc的DMPlex数据结构，将非结构化网格表示为有向无环图，从而实现与维度和单元类型无关的算法。
• 在PETSc中实现黎曼度量工具，包括度量创建（DMPlexMetricCreate）、对称正定（SPD）性质的强制（DMPlexMetricEnforceSPD）以及度量组合（例如通过DMPlexMetricIntersection实现交集）。
• 应用$L^p$归一化技术以控制网格复杂度并确保多尺度分辨率，目标复杂度通过-command-line参数-adaptor_target_num指定。
• 利用ParMmg的并行重划分为管道：每个进程在其分区上进行局部自适应，随后进行重分区，并迭代细化直至收敛（通常为三次迭代）。
• 从解的Hessian矩阵构造误差度量，通过特征值分解定义各向异性的单元大小和方向，并基于幅值缩放以反映插值误差。
• 与PETSc的SNES非线性求解器集成，支持在每一步固定点迭代中进行网格自适应，使用-command-line参数-snes_adapt_sequence。

实验结果

研究问题

• RQ1 ParMmg能否被有效集成到PETSc中，以实现有限元问题的可扩展、并行、基于度量的网格自适应？
• RQ2 该框架是否能在右端项空间变化的三维泊松问题中实现最优$L^2$收敛率，而均匀加密方法则无法实现？
• RQ3 该框架能否生成多尺度、各向异性的网格，以准确捕捉尖锐界面，同时保持元素数量少且质量高？
• RQ4 基于Hessian的度量与$L^p$归一化相结合，对网格复杂度和解的精度有何影响？
• RQ5 与标准的均匀加密相比，PETSc-ParMmg系统的性能和收敛行为如何？

主要发现

• 所提出的PETSc-ParMmg框架在$k=1$有限元下实现了预期的$(k+1)/d$收敛率，且在$L^2$范数下与各向同性网格的最优收敛率一致。
• 在具有尖锐球形不连续界面的界面捕捉测试用例中，该方法实现了最优$L^2$收敛率，而均匀加密则未能实现。
• 界面问题的自适应网格包含595,594个单元，最大纵横比为21.08，体积比跨度达八数量级，表明具有强大的多尺度分辨率能力。
• 界面捕捉网格中14.8%的单元纵横比大于2，表明其在捕捉陡峭梯度方面具有有效的各向异性。
• 该框架在保持高精度的同时成功降低了网格复杂度，基于Hessian的度量使更少的自由度即可解析复杂解特征。
• 该集成支持均匀和空间变化的度量目标，后者可实现针对感兴趣诊断量的目标导向自适应。