[论文解读] Parallelization of the multi-level hp-adaptive finite cell method

J. Jomo, Nils Zander+5 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对多级hp自适应有限单元法的新型并行化策略，通过使用共享网格数据结构并在活动叶节点层面上分配计算任务，避免了冗余的虚拟单元计算。该方法在刚度矩阵积分等计算中实现了强可扩展性，即使每个进程的单元数量较少，也能保持良好性能，从而实现了对生物力学和增材制造中复杂几何结构的高效大规模模拟。

ABSTRACT

The multi-level hp-refinement scheme is a powerful extension of the finite element method that allows local mesh adaptation without the trouble of constraining hanging nodes. This is achieved through hierarchical high-order overlay meshes, a hp-scheme based on spatial refinement by superposition. An efficient parallelization of this method using standard domain decomposition approaches in combination with ghost elements faces the challenge of a large basis function support resulting from the overlay structure and is in many cases not feasible. In this contribution, a parallelization strategy for the multi-level hp-scheme is presented that is adapted to the scheme's simple hierarchical structure. By distributing the computational domain among processes on the granularity of the active leaf elements and utilizing shared mesh data structures, good parallel performance is achieved, as redundant computations on ghost elements are avoided. We show the scheme's parallel scalability for problems with a few hundred elements per process. Furthermore, the scheme is used in conjunction with the finite cell method to perform numerical simulations on domains of complex shape.

研究动机与目标

• 解决由于基函数支持域过大和虚拟单元开销过高导致的多级hp自适应有限元方法并行效率低下的问题。
• 克服在层次化hp超细化方案中，标准域分解方法因虚拟单元数量过多而带来的局限性。
• 通过结合有限单元法与多级hp自适应技术，实现对复杂几何结构的高效、可扩展模拟。
• 通过利用多级方案的层次结构，在分布式内存环境中改善负载均衡并减少内存开销。
• 展示所提出的并行化方法在涉及复杂域和高阶单元的实际工程问题中的可行性与性能表现。

提出的方法

• 在活动叶节点粒度上分配计算域，而非初始单元或细化单元，以最小化负载不平衡。
• 在各进程中使用共享网格数据结构，以保持网格一致性并避免在虚拟单元上重复计算。
• 实现全局系统的分布式组装，每个进程仅对其拥有的自由度进行贡献，从而减少通信和计算开销。
• 应用一种负载均衡算法（算法1），根据计算成本将积分域分配给各进程，确保工作负载均衡。
• 将该方案与有限单元法集成，实现在无需体匹配网格的情况下，对隐式定义的复杂域进行高阶、hp自适应模拟。
• 利用层次化叠加网格，实现任意悬挂节点，并在无拓扑约束下实现直观的加密与降密操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 所提出的多级hp自适应有限单元法并行化策略是否能够避免因虚拟单元计算过多而导致的可扩展性限制？
• RQ2 当每个进程的单元数量较少时（例如仅几百个），所提出的负载均衡方案性能如何？
• RQ3 共享网格数据结构在分布式模拟中在多大程度上能保持网格一致性并减少内存开销？
• RQ4 该并行方案对最耗时的计算例程（如刚度矩阵积分）的性能有何影响？
• RQ5 该方法在包含高阶单元和复杂几何结构的2D和3D复杂工程问题模拟中是否能实现强可扩展性？

主要发现

• 所提出的并行化策略在刚度矩阵积分例程中实现了强可扩展性，当每个进程仅处理少量几百个积分域时，观察到完美的可扩展性。
• 全局组装过程虽需通信非局部条目，但其计算时间仅占总计算时间的一小部分，未显著影响整体性能。
• 该方案在2D和3D中不同规模问题上均表现出良好的并行效率，即使在复杂高阶问题中也能保持可扩展性。
• 通过使用共享网格数据和叶节点分配，避免了冗余的虚拟单元计算，而这类计算在传统方法中会占据主导地位并降低可扩展性。
• 该方法成功实现了使用有限单元法对复杂域进行大规模模拟，如在高阶单元下对3D骨-植入物系统模拟的成功应用。
• 每个进程的内存使用量随进程数增加而减少，但当网格规模占主导地位时，该趋势趋于平缓，表明未来需采用分布式网格结构以实现进一步扩展。