[论文解读] Parameterized Algorithms for the Matrix Completion Problem

Robert Ganian, Iyad Kanj+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2018

graph theory and CDMA systems参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文研究了两个矩阵补全问题的参数化复杂性：最小化矩阵秩和最小化不同行数。在缺失条目行、列及行+列覆盖等关键参数的有界域假设下，本文为这两个问题提出了固定参数可满足的算法。

ABSTRACT

We consider two matrix completion problems, in which we are given a matrix with missing entries and the task is to complete the matrix in a way that (1) minimizes the rank, or (2) minimizes the number of distinct rows. We study the parameterized complexity of the two aforementioned problems with respect to several parameters of interest, including the minimum number of matrix rows, columns, and rows plus columns needed to cover all missing entries. We obtain new algorithmic results showing that, for the bounded domain case, both problems are fixed-parameter tractable with respect to all aforementioned parameters. We complement these results with a lower-bound result for the unbounded domain case that rules out fixed-parameter tractability w.r.t. some of the parameters under consideration.

研究动机与目标

• 研究缺失条目结构参数的矩阵补全问题的参数化复杂性。
• 确定在各种参数化下，最小化矩阵秩或最小化不同行数是否为固定参数可满足的。
• 为这些问题在有界域与无界域之间建立复杂性边界。
• 探索当某些结构参数较小时，NP-难矩阵补全问题是否存在高效算法的可行性。
• 为两个基本矩阵补全目标提供参数化复杂性的全面分类。

提出的方法

• 通过构造装置将矩阵补全问题转化为图划分和三角形打包问题。
• 采用参数化归约和组合构造方法，证明有界域情况下固定参数可满足性。
• 通过对手工构造图与矩阵关联图之间同构性的详尽案例分析，验证其同构性。
• 应用已知的NP-难结果（如三角形划分、3-着色）为无界域情况建立下界。
• 引入针对子句和变量的专用装置，以在矩阵补全设置中模拟逻辑约束。
• 利用随机化算法和复杂性类（FPT_R, XP_R）在概率假设下分析参数化可满足性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以覆盖所有缺失条目所需的行数、列数或其总和为参数时，秩最小化问题是否为固定参数可满足的？
• RQ2 当域有界且参数较小时，能否高效求解矩阵补全中最小化不同行数的问题？
• RQ3 当域无界时，特别是以行、列或组合参数为参数时，矩阵补全的参数化复杂性如何？
• RQ4 是否存在在有界域假设下实现固定参数可满足性的随机化参数化算法？
• RQ5 在行和列缺失条目约束有界的情况下，矩阵补全的NP-难性是否仍然存在？

主要发现

• 在有界域情况下，两个矩阵补全问题——最小化秩和最小化不同行数——均关于行数、列数及其总和为参数的固定参数可满足。
• 本文证明，当以行数为参数时，最小化不同行数问题（DRMC）属于FPT，即使在无界域情况下也是如此。
• 最小化秩问题（RMC）在所有考虑的参数下属于XP（及XP_R），但在相同条件下并非固定参数可满足。
• 本文证明了当以列数为参数时，DRMC存在para-NP难性结果，意味着在该参数下其极不可能属于FPT。
• 本文提供了硬度结果，表明即使每行和每列恰好包含三个缺失条目，2-DRMC仍为NP-难。
• 从(n/3)-着色问题（最小度为n−4）到2-DRMC的归约，建立了在有界缺失条目约束下的NP-难性。