[论文解读] Parameterized Approximation For Robust Clustering in Discrete Geometric Spaces

Fateme Abbasi, Sandip Banerjee+7 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2023

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一句话总结

本文提出了一种用于离散几何空间中鲁棒 (k, z)-聚类问题的参数化近似算法，在高维欧几里得空间中实现了 3z(1 − η₀) 因子的 FPT 近似，并为次对数维度提供了高效的参数化近似方案（EPAS）。研究建立了紧致的不可近似性下界，表明在对数维度下不存在 EPAS，同时提出了基于核心集的框架，通过中心枚举和球体分解实现高效的 (1 + ε)-近似。

ABSTRACT

We consider the well-studied Robust (k,z)-Clustering problem, which generalizes the classic k-Median, k-Means, and k-Center problems and arises in the domains of robust optimization [Anthony, Goyal, Gupta, Nagarajan, Math. Oper. Res. 2010] and in algorithmic fairness [Abbasi, Bhaskara, Venkatasubramanian, 2021 & Ghadiri, Samadi, Vempala, 2022]. Given a constant z ≥ 1, the input to Robust (k,z)-Clustering is a set P of n points in a metric space (M,δ), a weight function w: P → ℝ_{≥ 0} and a positive integer k. Further, each point belongs to one (or more) of the m many different groups S_1,S_2,…,S_m ⊆ P. Our goal is to find a set X of k centers such that max_{i ∈ [m]} ∑_{p ∈ S_i} w(p) δ(p,X)^z is minimized. Complementing recent work on this problem, we give a comprehensive understanding of the parameterized approximability of the problem in geometric spaces where the parameter is the number k of centers. We prove the following results: [(i)] 1) For a universal constant η₀ > 0.0006, we devise a 3^z(1-η₀)-factor FPT approximation algorithm for Robust (k,z)-Clustering in discrete high-dimensional Euclidean spaces where the set of potential centers is finite. This shows that the lower bound of 3^z for general metrics [Goyal, Jaiswal, Inf. Proc. Letters, 2023] no longer holds when the metric has geometric structure. 2) We show that Robust (k,z)-Clustering in discrete Euclidean spaces is (√{3/2}- o(1))-hard to approximate for FPT algorithms, even if we consider the special case k-Center in logarithmic dimensions. This rules out a (1+ε)-approximation algorithm running in time f(k,ε)poly(m,n) (also called efficient parameterized approximation scheme or EPAS), giving a striking contrast with the recent EPAS for the continuous setting where centers can be placed anywhere in the space [Abbasi et al., FOCS'23]. 3) However, we obtain an EPAS for Robust (k,z)-Clustering in discrete Euclidean spaces when the dimension is sublogarithmic (for the discrete problem, earlier work [Abbasi et al., FOCS'23] provides an EPAS only in dimension o(log log n)). Our EPAS works also for metrics of sub-logarithmic doubling dimension.

研究动机与目标

• 理解在参数 k 下，离散几何空间中鲁棒 (k, z)-聚类问题的参数化近似可解性。
• 弥合一般度量空间中已知的下界与几何设置下改进的近似之间的差距。
• 在对数维度下建立 FPT 算法的紧致不可近似性结果。
• 为次对数维度下的鲁棒 (k, z)-聚类问题开发高效的参数化近似方案（EPAS）。
• 提出一个基于核心集的框架，通过中心枚举和几何球体分解实现 (1 + ε)-近似。

提出的方法

• 在高维欧几里得空间中，利用中心枚举和几何球体分解，设计了一个 (3z(1 − η₀)) 因子的 FPT 近似算法。
• 采用大小为 (2z/ε)^O(d) · k^z · log n 的核心集构造方法，在保持近似质量的同时减少输入规模。
• 通过在 (1 + ε/10z)-四舍五入的半径上进行穷举枚举，以及基于 ε-网的设施采样，实现 (1 + ε)-近似算法。
• 利用球体分解引理，通过倍增维数 d 来限制每簇的候选中心数量。
• 利用倍增维数的性质，确保在球体内密集且分离集合的上界为 (r/ε)^O(d)。
• 结合核心集保证与 FPT 枚举，实现时间复杂度为 (2z/ε)^O(d) · k^z · log k)^O(k) · poly(n, m) 的 (1 + ε)-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有结构的几何空间中，能否打破一般度量空间中鲁棒 (k, z)-聚类问题的 3z 下界？
• RQ2 在次对数维度的离散欧几里得空间中，鲁棒 (k, z)-聚类问题是否存在高效的参数化近似方案（EPAS）？
• RQ3 在以 k 为参数的几何空间中，鲁棒 (k, z)-聚类问题的真实参数化近似可解性是什么？
• RQ4 核心集构造是否可用于设计几何设置下的高效 (1 + ε)-近似算法？
• RQ5 在对数维度下，离散鲁棒 (k, z)-聚类问题是否存在 EPAS 的根本性障碍？

主要发现

• 在离散高维欧几里得空间中，鲁棒 (k, z)-聚类问题实现了 (3z(1 − η₀)) 因子的 FPT 近似算法，打破了在一般度量空间中已知的 3z 下界。
• 本文证明，在标准复杂性假设下，对数维度下的鲁棒 (k, z)-聚类问题不存在 EPAS，即使在 k-Center 的特殊情况下亦然。
• 为次对数维度构建了 EPAS，优于以往工作所要求的 o(log log n) 维度。
• 核心集大小被限制在 (2z/ε)^O(d) · k^z · log n，保持了原始问题的 (1 + ε)-近似性。
• 算法在时间复杂度 (2z/ε)^O(d) · k^z · log k)^O(k) · poly(n, m) 内实现 (1 + ε)-近似，与理想的 EPAS 效率一致。
• 球体分解引理确保了密集和分离集合的上界为 (r/ε)^O(d)，从而在倍增度量中实现高效的枚举。