[论文解读] Parameterized Complexity of Geodetic Set

Leon Kellerhals, Tomohiro Koana|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本文首次对 NP-难的测地集问题开展参数化复杂性研究，证明其在反馈顶点数、路径宽和解大小三者联合参数化下为 W[1]-难，但通过新颖的整数线性规划（ILP）与 MSO1 逻辑方法，为反馈边数、树深度和模宽度设计了固定参数可满足的算法。关键贡献在于首次获得测地集问题在树宽以外的结构参数下的固定参数可满足性结果。

ABSTRACT

A vertex set S of a graph G is geodetic if every vertex of G lies on a shortest path between two vertices in S. Given a graph G and k ∈ ℕ, the NP-hard Geodetic Set problem asks whether there is a geodetic set of size at most k. Complementing various works on Geodetic Set restricted to special graph classes, we initiate a parameterized complexity study of Geodetic Set and show, on the negative side, that Geodetic Set is W[1]-hard when parameterized by feedback vertex number, path-width, and solution size, combined. On the positive side, we develop fixed-parameter algorithms with respect to the feedback edge number, the tree-depth, and the modular-width of the input graph.

研究动机与目标

• 研究测地集问题在衡量树似性的结构图参数下的参数化复杂性。
• 填补对有界树宽图（尤其是系列-并行图）上测地集复杂性理解的空白。
• 为反馈边数、树深度与模宽度等新参数开发固定参数可满足算法。
• 探索 MSO1 逻辑与 ILP 在有界直径与有界团宽约束下求解测地集问题的表达能力。

提出的方法

• 通过从 W[1]-难的网格填充问题出发的参数化归约，证明反馈顶点数、路径宽与解大小三者联合参数化下为 W[1]-难。
• 在应用整数线性规划（ILP）前，设计多项式时间的数据规约规则与分支策略，且变量数量有界，适用于反馈边数。
• 将测地集问题表达为一个 MSO1 逻辑公式，其长度由图的直径上界控制。
• 利用 Courcelle 定理推导出团宽加直径下的固定参数可满足性，并通过已知的参数层次结构，将结果扩展至树深度与模宽度。
• 提出一种新颖方法：构造 2^O(fen(G)) 个 ILP 实例，每个实例包含 O(fen(G)^2) 个二值变量与 O(fen(G)) 个非二值变量，可在 O*(2^O(fen(G)^2)) 时间内求解。
• 证明在度为二的路径上，解顶点的数量被一个常数所限制，从而在反馈边数算法中实现高效分支。

实验结果

研究问题

• RQ1 当测地集问题联合参数化为反馈顶点数、路径宽与解大小时，是否为 W[1]-难？
• RQ2 测地集问题是否可在反馈边数参数化下以固定参数时间求解？
• RQ3 测地集问题是否在树深度与模宽度参数化下为固定参数可满足？
• RQ4 问题是否可用 MSO1 逻辑表达，且公式长度受图直径有界？
• RQ5 在反馈边数约束下，使用有界变量的 ILP 是否能产生实际或理论高效的算法？

主要发现

• 测地集问题在反馈顶点数、路径宽与解大小联合参数化下为 W[1]-难，尽管其在树上是平凡的。
• 问题在反馈边数参数化下为固定参数可满足，运行时间为 O*(2^O(fen(G)^2))，采用新颖的基于 ILP 的方法。
• 测地集问题在团宽加直径参数化下为固定参数可满足，通过一个长度依赖于直径的 MSO1 公式实现。
• 该结果可扩展至树深度与模宽度，因为二者均可由团宽与直径的函数所上界。
• 首次在测地集问题背景下应用有界变量的 ILP，标志着一种新颖的算法技术。
• 在任意度为二的路径上，解顶点的数量被一个常数所限制，从而在反馈边数算法中实现有效分支。