[论文解读] Parametric inference for hypoelliptic ergodic diffusions with full observations

Anna Melnykova|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用 12

一句话总结

本文提出了一种针对具有完整离散观测的二维次椭圆扩散过程的参数估计方法，该方法基于局部线性化方案的离散化对数似然函数，实现了具有一致性和渐近正态性的参数估计。该方法通过精心调整似然分量的尺度，克服了扩散系数退化的问题，并在正则条件下证明了估计的一致性和渐近正态性，数值验证基于 FitzHugh-Nagumo 神经元模型完成。

ABSTRACT

Multidimensional hypoelliptic diffusions arise naturally in different fields, for example to model neuronal activity. Estimation in those models is complex because of the degenerate structure of the diffusion coefficient. In this paper we consider hypoelliptic diffusions, given as a solution of two-dimensional stochastic differential equations (SDEs), with the discrete time observations of both coordinates being available on an interval $T = n\\Delta_n$, with $\\Delta_n$ the time step between the observations. The estimation is studied in the asymptotic setting, with $T\ o\\infty$ as $\\Delta_n\ o 0$. We build a consistent estimator of the drift and variance parameters with the help of a discretized log-likelihood of the continuous process. We discuss the difficulties generated by the hypoellipticity and provide a proof of the consistency and the asymptotic normality of the estimator. We test our approach numerically on the hypoelliptic FitzHugh-Nagumo model, which describes the firing mechanism of a neuron.

研究动机与目标

• 解决扩散矩阵退化且奇异的次椭圆扩散模型中的参数推断挑战。
• 在二维 Itô SDE 的两个坐标均以离散时间点观测时，开发出对漂移和方差参数具有一致性和渐近正态性的估计量。
• 通过定制化的离散化方案，解决次椭圆系统中过渡密度协方差矩阵不可逆的问题。
• 在渐近框架 $T = n\Delta_n \to \infty$, $\Delta_n \to 0$ 下，建立估计量的一致性和渐近正态性的理论性质。
• 在次椭圆 FitzHugh-Nagumo 神经元动力学模型上对方法进行数值验证。

提出的方法

• 使用局部线性化方案近似连续次椭圆 SDE 的过渡密度，从而实现可计算的似然函数。
• 基于连续过程的离散化对数似然函数构建对比估计量，对漂移和扩散分量分别进行尺度调整。
• 采用两步估计程序：首先利用缩放后的似然函数估计漂移参数 $\theta^{(1)}$，然后通过独立的似然分量估计 $\theta^{(2)}$ 和 $\sigma$。
• 通过对对比函数在真实参数附近的泰勒展开推导渐近正态性，对 $\hat{\theta}^{(1)}$ 和 $\hat{\theta}^{(2)}$ 采用不同的缩放方式。
• 利用引理证明关键二次型和得分函数的依概率收敛性，确保估计量的一致性和渐近正态性。
• 应用鞅中心极限定理框架，推导估计量的渐近分布，同时考虑了不同阶次的方差分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有完整离散观测的二维次椭圆扩散模型中的漂移和扩散参数构造一个一致且渐近正态的估计量？
• RQ2 在次椭圆 SDE 的参数推断中，如何解决过渡密度协方差矩阵不可逆的问题？
• RQ3 当扩散系数退化时，应如何对似然分量进行适当缩放，以确保估计的一致性和渐近正态性？
• RQ4 基于局部线性化的离散化对数似然估计量在次椭圆设定下是否能提供有效的推断，特别是在神经元模型中？
• RQ5 在联合渐近框架 $T \to \infty$, $\Delta_n \to 0$ 下，该估计量的理论性质能否被严格证明？

主要发现

• 漂移参数 $\theta^{(1)}$ 的估计量是一致的，满足当 $n \to \infty$ 时 $\hat{\theta}^{(1)}_{n,\Delta_n} \to \theta^{(1)}_0$ 依概率收敛。
• 漂移参数 $\theta^{(2)}$ 的估计量也是一致的，同样在 $n \to \infty$ 的渐近框架下满足 $\hat{\theta}^{(2)}_{n,\Delta_n} \to \theta^{(2)}_0$ 依概率收敛。
• 估计量的渐近分布为多变量正态分布，且 $\sqrt{n/\Delta_n}(\hat{\theta}^{(1)} - \theta^{(1)}_0)$ 和 $\sqrt{n\Delta_n}(\hat{\theta}^{(2)} - \theta^{(2)}_0)$ 均收敛到正态极限。
• 渐近方差-协方差矩阵为对角矩阵，其分量依赖于漂移函数的积分平方梯度和扩散系数。
• 对 $\theta^{(1)}$ 的渐近方差与 $\int b^2(z;\sigma_0)(\partial_y a_1(z;\theta^{(1)}_0))^2 (\partial_{\theta^{(1)}} a_1(z;\theta^{(1)}_0))^2 \nu_0(dz)$ 成正比。
• 对 $\theta^{(2)}$ 的渐近方差与 $\int b^2(z;\sigma_0)(\partial_{\theta^{(2)}} a_2(z;\theta^{(2)}_0))^2 \nu_0(dz)$ 成正比。