[论文解读] Pareto optimal and popular house allocation with lower and upper quotas

Ágnes Cseh, Tobias Friedrich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2021

Game Theory and Voting Systems被引用 2

一句话总结

本文研究了具有下限和上限项目配额的住房分配问题中的Pareto最优匹配与流行匹配。研究证明，即使下限配额最大为2，寻找流行匹配仍是NP难的；而当最大下限配额为2时，验证Pareto最优性和流行性问题则变为多项式时间可解，从而解决了该领域中的两个开放问题。

ABSTRACT

In the house allocation problem with lower and upper quotas, we are given a set of applicants and a set of projects. Each applicant has a strictly ordered preference list over the projects, while the projects are equipped with a lower and an upper quota. A feasible matching assigns the applicants to the projects in such a way that a project is either matched to no applicant or to a number of applicants between its lower and upper quota. In this model we study two classic optimality concepts: Pareto optimality and popularity. We show that finding a popular matching is hard even if the maximum lower quota is 2 and that finding a perfect Pareto optimal matching, verifying Pareto optimality, and verifying popularity are all NP-complete even if the maximum lower quota is 3. We complement the last three negative results by showing that the problems become polynomial-time solvable when the maximum lower quota is 2, thereby answering two open questions of Cechl\'arov\'a and Fleiner. Finally, we also study the parameterized complexity of all four mentioned problems.

研究动机与目标

• 分析在具有下限和上限项目配额的住房分配问题中寻找Pareto最优匹配与流行匹配的复杂性。
• 解决在有界下限配额下，流行匹配与Pareto最优匹配可 tractability 的开放问题。
• 研究这些问题的参数化复杂性，特别是针对最大下限配额的参数化。
• 通过证明更高下限配额下的NP完全性以及下限配额 ≤ 2 时的多项式时间可解性，建立紧致的复杂性界限。

提出的方法

• 通过从多色团问题归约，证明最大下限配额为2时寻找流行匹配的NP难性。
• 构建一个具有特殊项目（颜色、顶点、边、虚拟）的多对一匹配实例，以及具有严格偏好列表的申请者。
• 使用虚拟申请者和项目以强制实施结构约束：确保所有顶点和颜色项目均被开放，且所有申请者均被匹配。
• 利用观察2表明，虚拟申请者会强制任何流行匹配中出现特定的结构特性。
• 精心设计偏好列表，使得任一申请者分配的改进都会被其他申请者的调整所抵消，从而保持流行性。
• 证明当最大下限配额为2时，验证Pareto最优性、流行性，以及寻找完美Pareto最优匹配的问题均可在多项式时间内求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当最大下限配额为2时，寻找流行匹配是否为NP难？
• RQ2 当最大下限配额为2时，能否在多项式时间内验证Pareto最优性？
• RQ3 在相同约束下，寻找完美Pareto最优匹配是否具有可 tractability？
• RQ4 以最大下限配额为参数时，流行匹配与Pareto最优匹配问题的参数化复杂性如何？
• RQ5 是否存在结构约束，使得在任何流行匹配中，所有顶点和颜色项目都必须被打开？

主要发现

• 即使最大下限配额为2，寻找流行匹配仍是NP难的。
• 当最大下限配额为3时，验证Pareto最优性为NP完全。
• 当最大下限配额为3时，验证流行性为NP完全。
• 当最大下限配额为3时，寻找完美Pareto最优匹配为NP完全。
• 当最大下限配额为2时，验证Pareto最优性、验证流行性以及寻找完美Pareto最优匹配这三项问题均可在多项式时间内求解。
• 本文通过证明在下限配额为2的约束下这些问题具有多项式时间可解性，解决了Cechl´arov´a和Fleiner（2017）提出的两个开放问题。