[论文解读] Parity linkage and the Erd\H{o}s-P\'osa property of odd cycles through prescribed vertices in highly connected graphs

Felix Joos|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文通过奇圈的偶 parity-k-链接定理，建立了高度连通图中通过指定顶点集 S 的奇圈的奇偶性关联 Erdős-Pósa 性质。利用强化的 parity-k-链接定理，证明了对于任意 50k-连通图 G 和顶点子集 S，要么 G 包含 k 个不相交的奇 S-圈，要么存在一个大小至多为 2k−2 的顶点覆盖 X，可消除所有奇 S-圈——该界是紧致的。该结果推广并加强了此前关于奇圈 Erdős-Pósa 定理的连通性阈值结果。

ABSTRACT

We show the following for every sufficiently connected graph $G$, any vertex subset $S$ of $G$, and given integer $k$: there are $k$ disjoint odd cycles in $G$ each containing a vertex of $S$ or there is set $X$ of at most $2k-2$ vertices such that $G-X$ does not contain any odd cycle that contains a vertex of $S$. We prove this via an extension of Kawarabayashi and Reed's result about parity-$k$-linked graphs (Combinatorica 29, 215-225). From this result it is easy to deduce several other well known results about the Erd\H{o}s-P\'osa property of odd cycles in highly connected graphs. This strengthens results due to Thomassen (Combinatorica 21, 321-333), and Rautenbach and Reed (Combinatorica 21, 267-278), respectively.

研究动机与目标

• 将 Erdős-Pósa 性质推广至高度连通图中通过指定顶点集 S 的奇圈。
• 通过建立奇 S-圈覆盖大小的紧致界，解决奇 S-圈打包与覆盖之间的对偶性问题。
• 推广并加强 Thomassen、Rautenbach 与 Reed，以及 Kawarabayashi 与 Reed 关于奇圈 Erdős-Pósa 性质连通性阈值的先前结果。
• 证明 50k-连通性可确保图中存在奇偶性-k-链接结构，从而支持 k 个不相交奇 S-圈或小奇 S-圈覆盖的构造。

提出的方法

• 利用 Kawarabayashi 与 Reed 的奇偶性-k-链接定理的强化版本，适用于不含小奇圈覆盖的 50k-连通图。
• 采用图 G 在最小奇圈覆盖 X 上诱导的优美划分 (A,B)，其中 X 是辅助图 GA,B 中的最小顶点覆盖。
• 在 GA,B 中应用匹配论论证，以找到覆盖 S′⊆S 中 k 个顶点的 k 个不相交边，且确保无边覆盖 S′ 中的两个顶点。
• 运用引理 10（Lemma 10）从 GA,B 中的匹配构造出 k 个不相交的奇 S′-圈，从而推出 G 中存在 k 个不相交的奇 S-圈。
• 引入 τk(G[S]) = min_{S′⊆S, |S′|=k} τ(G[S′]) 的概念，将覆盖大小界细化为 2k−2 + τk(G[S]) ≤ 3k−3（当 |S|≥k 时）。
• 通过极值论证与结构图论，利用显式构造证明 2k−2 和 3k−3 的界是紧致的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将奇圈的 Erdős-Pósa 性质推广至高度连通图中通过指定顶点集 S 的奇圈？
• RQ2 保证存在 k 个不相交奇 S-圈或大小至多为 2k−2 的小奇 S-圈覆盖的最小连通性阈值是多少？
• RQ3 奇 S-圈覆盖大小的 2k−2 界在所有连通性水平下是否都是紧致的？
• RQ4 奇 S-圈覆盖的大小与 S 的结构有何关系，特别是当 S 包含大团或独立集时？
• RQ5 奇偶性-k-链接定理能否用于推导奇 S-圈的紧致 Erdős-Pósa 类型结果？

主要发现

• 对于任意 50k-连通图 G 和顶点集 S，要么 G 包含 k 个不相交的奇 S-圈，要么存在大小至多为 2k−2 的顶点覆盖 X，可消除所有奇 S-圈。
• 若 |S| ≥ k，则在覆盖情形下，还存在大小至多为 3k−3 的顶点覆盖 Y，使得 G−X 为二分图，且该界是紧致的。
• 2k−2 的奇 S-圈覆盖界是紧致的，如通过在一边添加团的完全二分图构造所示。
• 当 S 包含 τ-团时，3k−3 的界是紧致的，且覆盖大小为 2k−3 + τ(G[S])（τ ≤ k 时）。
• 本文证明 50k-连通性足以确保无小奇圈覆盖的图中存在奇偶性-k-链接结构，从而支持主要结果。
• 结果推广并加强了此前 Thomassen（双指数）、Rautenbach 与 Reed（线性）、Kawarabayashi 与 Reed（24k）的界限，现将连通性阈值提升至 50k。