[论文解读] Partial actions of C*-quantum groups I: Restriction and Globalization

Franziska Kraken, Paula Quast+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入了C*-量子群对C*-代数的偏共作用，并在温和条件下（特别是当C*-代数具有截面映射性质时）建立了最小全局化共作用（全局化）的存在性。主要贡献在于，对具有内射性、弱连续性及正则性的C*-量子群的偏共作用，给出了一个构造性证明，证明其存在唯一且最小的全局化，从而将全局化理论从霍普夫代数推广至C*-量子群的设定。

ABSTRACT

Partial actions of groups on C*-algebras and the closely related actions and coactions of Hopf algebras received much attention over the last decades. They arise naturally as restrictions of their global counterparts to non-invariant subalgebras, and the ambient eveloping global (co)actions have proven useful for the study of associated crossed products. In this article, we introduce the partial coactions of C*-bialgebras, focussing on C*-quantum, and prove existence of an enveloping global coaction under mild technical assumptions. The construction of the latter provides a left adjoint to the forgetful functor from coactions to partial coactions. We also show that partial coactions of the function algebra of a discrete group correspond to partial actions on direct summands of a C*-algebra, and relate partial coactions of a compact or its dual discrete C*-quantum group to partial coactions or partial actions of the dense Hopf subalgebra.

研究动机与目标

• 将全局化理论从全局共作用推广至C*-量子群背景下的偏共作用。
• 确立C*-量子群的偏共作用存在最小且唯一的全局化的条件。
• 将离散群上的函数代数的偏共作用与C*-代数的直和分量上的偏作用联系起来。
• 将紧致或离散C*-量子群的偏共作用与它们的稠密霍普夫子代数的偏共作用或作用联系起来。
• 通过限制一个全局共作用，构造一个基本例子——量子伯努利移位，证明其在偏共作用范畴中具有初始性。

提出的方法

• 引入C*-双代数（特别是C*-量子群）的偏共作用概念，推广偏作用与共作用。
• 定义关键概念，如偏共作用的弱连续性与强连续性、正则性及内射性。
• 利用量子群C*-代数的截面映射性质，克服构造全局化过程中的技术难题。
• 通过普遍性质构造全局化，定义一个最小扩张，将偏共作用扩展为全局共作用。
• 通过证明任意最小扩张均唯一地通过所构造的全局对象因子化，从而证明全局化的唯一性（模同构）。
• 将理论应用于构造量子伯努利移位，作为由全局共作用限制而来的偏共作用的典型例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，C*-量子群的偏共作用会存在最小全局化？
• RQ2 C*-量子群的函数代数$C_0(\Gamma)$在离散群$\Gamma$上的偏共作用如何与C*-代数的直和分量上的偏作用相关？
• RQ3 紧致C*-量子群的偏共作用与其对偶紧致量子群的矩阵系数的稠密霍普夫代数的偏共作用之间有何关系？
• RQ4 每个内射的、正则的C*-量子群的偏共作用是否都能嵌入到一个全局共作用中？若能，这种嵌入是否唯一？
• RQ5 截面映射性质在确保全局化构造的存在性与唯一性中起什么作用？

主要发现

• 每个具有截面映射性质的C*-量子群的内射、弱连续、正则偏共作用，均存在最小全局化。
• 全局化在同构意义下唯一，且任意最小扩张均唯一地通过所构造的全局对象因子化。
• 函数代数$C_0(\Gamma)$在离散群$\Gamma$上的偏共作用，精确对应于C*-代数的每个定义域为直和分量的偏作用。
• 对于离散C*-量子群，每个偏共作用均诱导出其对偶紧致量子群的矩阵系数霍普夫代数的偏作用。
• 量子伯努利移位通过限制一个全局共作用构造为一个偏共作用，且在偏共作用范畴中具有初始性。
• 从任意最小扩张到所构造的全局化的态射是满射；当量子群为C*-量子群时，该态射是同构，从而确保完全的普遍性。