[论文解读] Partial difference sets from quadratic forms and $p$-ary weakly regular bent functions

Tao Feng, Bin Wen+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文通过使用 $p$-元弱正则弯函数和广义分圆，引入了两类新型部分差集（PDS）及幺模关联方案。首先，通过使用高次齐次函数（$p$-元弱正则弯函数）扩展仿射极图，得到新的负拉丁方类型PDS。其次，通过将均匀分圆与二次型结合，构造出具有显式参数的新PDS。主要贡献在于从这些PDS构造出新的幺模关联方案。

ABSTRACT

We generalize the construction of affine polar graphs in two different ways to obtain new partial difference sets and amorphic association schemes. The first generalization uses a combination of quadratic forms and uniform cyclotomy. In the second generalization we replace the quadratic form in the affine polar graph construction by higher degree homogeneous functions that are $p$-ary weakly regular bent. The negative Latin square type partial difference sets arising from the first generalization are new.

研究动机与目标

• 通过将 $p$-元弱正则弯函数（超越二次型）应用于仿射极图构造，推广经典构造方法。
• 通过引入均匀分圆与高次齐次函数，扩展部分差集理论。
• 从这些广义PDS构造新的幺模关联方案。
• 为所得PDS提供显式参数，并验证其强正则Cayley图结构。
• 展示该框架在新类弯函数（包括非二次型）中的适用性。

提出的方法

• 通过用 $p$-元弱正则弯函数替代经典构造中的二次型，推广经典仿射极图构造。
• 利用弯函数的水平集在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 中定义子集 $D_0, D_{\text{R}}, D_{\text{N}}$，并证明其为PDS。
• 应用群环技巧与特征和计算，通过方程 $D^2 = \gamma 1_G + (\lambda - \mu)D + \mu G$ 验证PDS条件。
• 利用Walsh系数结构与齐次性条件，确保差分分布所需的正则性。
• 利用文献[9,10]中的定理3.6，证明三个Cayley图构成一个幺模三类关联方案。
• 基于 $p \mod 4$ 进行案例分析，区分 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 与 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将仿射极图的构造推广至超越二次型的高次齐次函数，且这些函数为 $p$-元弱正则弯函数？
• RQ2 在 $\mathbb{F}_{p^n}$ 中，$p$-元弱正则弯函数的水平集所生成的部分差集的参数为何？
• RQ3 在适当的对称性条件下，这些新PDS是否能诱导出幺模关联方案？
• RQ4 均匀分圆与二次型如何协同作用，生成具有负拉丁方类型参数的新PDS？
• RQ5 该框架是否可应用于非二次型弯函数，例如Helleseth与Kholosha所构造的函数？

主要发现

• 本文通过 $p$-元弱正则弯函数的水平集，在 $({\mathbb{F}}_{p^n}, +)$ 中构造出新的部分差集，其显式参数取决于二次型的类型（双曲型或椭圆型）。
• 当 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 时，集合 $D_{C_i} = \{x \in V \mid Q(x) \in C_i\}$ 构成参数为 $(N^2, (N - \epsilon)R, \epsilon N + R^2 - 3\epsilon R, R^2 - \epsilon R)$ 的PDS，其中 $N = q^m$，$R = f q^{m-1}$，$\epsilon = \pm 1$。
• 当 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，水平集 $D_0$、$D_{\mathcal{R}}$ 与 $D_{\mathcal{N}}$ 被证明在 $({\mathbb{F}}_{p^n}, +)$ 中为PDS，其参数由特征和恒等式及 $\mathcal{R}$ 与 $\mathcal{N}$ 作为差集的结构导出。
• 三个Cayley图 ${\rm Cay}(G, D_0 \setminus \{0\})$、${\rm Cay}(G, D_{\mathcal{R}})$ 与 ${\rm Cay}(G, D_{\mathcal{N}})$ 在给定对称性与齐次性条件下，构成 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上的三类幺模关联方案。
• 该构造产生新的负拉丁方类型PDS，其无法通过经典二次型构造实现。
• 该框架适用于非二次型的 $p$-元弱正则弯函数，例如Helleseth与Kholosha近期所构造的函数，表明其在二次型之外具有广泛适用性。