[论文解读] Partial model categories and their simplicial nerves

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 11

一句话总结

本文引入了部分模型范畴——具有两出六性质和三箭头演算的相对范畴——并证明其单纯神经复形在经过Reedy纤维化替换后，生成完全的Segal空间。反之，每个完全的Segal空间都与某个部分模型范畴的单纯神经复形Reedy等价，具体而言，是单纯集范畴的同伦满子范畴。

ABSTRACT

In this note we consider partial model categories, by which we mean relative categories that satisfy a weakened version of the model category axioms involving only the weak equivalences. More precisely, a partial model category will be a relative category that has the two out of six property and admits a 3-arrow calculus. We then show that Charles Rezk's result that the simplicial space obtained from a simplicial model category by taking a Reedy fibrant replacement of its simplicial nerve is a complete Segal space also holds for these partial model categories. We also note that conversely every complete Segal space is Reedy equivalent to the simplicial nerve of a partial model category and in fact of a homotopically full subcategory of a category of diagrams of simplicial sets.

研究动机与目标

• 形式化并研究部分模型范畴，作为具有两出六性质和三箭头演算的相对范畴。
• 将Charles Rezk关于单纯模型范畴的单纯神经复形的Reedy纤维化替换生成完全Segal空间的结果，推广至更广泛的部分模型范畴类别。
• 证明每个完全Segal空间都可作为某个部分模型范畴的单纯神经复形的Reedy等价形式出现。
• 为保持部分模型结构的相对子范畴建立同伦满性条件。
• 提供一种相对Yoneda嵌入构造，通过单纯集的图范畴对完全Segal空间进行建模。

提出的方法

• 将部分模型范畴定义为满足两出六性质且具有三箭头演算的相对范畴 $(\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U})$。
• 使用单纯神经复形构造，为部分模型范畴关联一个单纯空间。
• 对单纯神经复形应用Reedy纤维化替换，以获得完全Segal空间。
• 通过同伦范畴 $L^H(\boldsymbol{C}^{\text{op}}, \boldsymbol{U}^{\text{op}})$ 构造相对Yoneda嵌入 $y: (\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U}) \to (\boldsymbol{S}^{\boldsymbol{C}^{\text{op}}, \boldsymbol{U}^{\text{op}}}, \tilde{\boldsymbol{U}})$。
• 通过经由DK等价的因子分解，并利用单纯Yoneda嵌入的性质，证明Yoneda嵌入的全忠实性。
• 证明映射 $e: (\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U}) \to Ef$ 是本质满射且全忠实，从而确立完全Segal空间的相对模型化。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rezk关于单纯模型范畴的单纯神经复形生成完全Segal空间的结果，能否推广到完整模型范畴之外？
• RQ2 何种结构条件可确保相对范畴的单纯神经复形在经过Reedy纤维化替换后成为完全Segal空间？
• RQ3 每个完全Segal空间是否都与某个部分模型范畴的单纯神经复形Reedy等价？
• RQ4 三箭头演算在控制相对范畴中函数复形的同伦类型方面起什么作用？
• RQ5 如何利用相对Yoneda嵌入通过单纯集的图范畴对完全Segal空间进行建模？

主要发现

• 部分模型范畴的单纯神经复形的Reedy纤维化替换是完全Segal空间，推广了Rezk的结果。
• 每个完全Segal空间都与某个单纯集范畴的图范畴的同伦满子范畴的单纯神经复形Reedy等价。
• 相对Yoneda嵌入 $y: (\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U}) \to (\boldsymbol{S}^{\boldsymbol{C}^{\text{op}}, \boldsymbol{U}^{\text{op}}}, \tilde{\boldsymbol{U}})$ 在限制于部分模型范畴时是全忠实的。
• 映射 $e: (\boldsymbol{C}, \boldsymbol{U}) \to Ef$ 既是本质满射又是全忠实，从而确立了完全Segal空间的相对模型化。
• 该构造依赖于DK等价和单纯Yoneda嵌入，以确保在纤维化替换下神经复形的同伦类型得以保持。
• 三箭头演算确保部分模型范畴中函数复形可通过三箭头之字形简单描述，从而简化同伦类型的计算。