[论文解读] Particle-vortex duality of 2d Dirac fermion from electric-magnetic duality of 3d topological insulators

Max A. Metlitski, Ashvin Vishwanath|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Topological Materials and Phenomena被引用 23

一句话总结

本文通过从三维拓扑绝缘体的电-磁对偶性推导出一种双重QED3理论，为二维狄拉克费米子提出了粒子-涡旋对偶性。该对偶性将狄拉克费米子表面态映射为一种由双重费米子与涌现规范场耦合的理论，其中电子产生算符表现为双单极子，双重费米子则表现为束缚于电子的复合涡旋；关键结果是，该对偶描述在保持时间反演对称性和粒子-空穴对称性的同时，一致地解决了异常问题，并实现了T-Pfaffian拓扑序。

ABSTRACT

Particle-vortex duality is a powerful theoretical tool that has been used to study bosonic systems. Here we propose an analogous duality for Dirac fermions in 2+1 dimensions. The physics of a single Dirac cone is proposed to be described by a dual theory, QED3 with a dual Dirac fermion coupled to a gauge field. This duality is established by considering two alternate descriptions of the 3d topological insulator (TI) surface. The first description is the usual Dirac cone surface state. The second description is accessed via an electric-magnetic duality of the bulk TI coupled to a gauge field, which maps it to a gauged topological superconductor. This alternate description ultimately leads to a new surface theory - dual QED3. The dual theory provides an explicit derivation of the T-Pfaffian state, a proposed surface topological order of the TI, which is simply the paired superfluid state of the dual fermions. The roles of time reversal and particle-hole symmetry are exchanged by the duality, which connects some of our results to a recent conjecture by Son on particle-hole symmetric quantum Hall states.

研究动机与目标

• 建立三维拓扑绝缘体表面狄拉克费米子态与具有涌现规范场的双重QED3理论之间的对偶性。
• 通过限制大规范变换来解决双重理论中的异常问题，确保与时间反演对称性的一致性。
• 证明T-Pfaffian拓扑序自然地作为双重费米子的成对超流态出现。
• 阐明粒子-涡旋对偶性在费米子系统中的作用，类比于已知的玻色子对偶性，但将其扩展至狄拉克费米子。
• 证明电子算符映射为双单极子，双重费米子则映射为束缚于电子的复合涡旋。

提出的方法

• 通过对耦合U(1)规范场的三维拓扑绝缘体体相应用电-磁对偶性，推导出双重理论，将其映射为一个规范化的拓扑超导体。
• 利用所得的体对偶性，构建一个由QED3描述的双重表面理论，其中包含一个与涌现规范场$a_\mu$耦合的双重狄拉克费米子。
• 将电子产生算符$\Psi_e$识别为引入双重理论中$4\pi$通量的双单极子算符。
• 证明双重费米子$\psi_{cf}$为复合对象：束缚于电子的涡旋，具有$2hc/e$通量，类似于分数量子霍尔效应中的复合费米子。
• 使用$\theta$-角形式化在双重理论中实现大规范变换，并将其限制以保持与时间反演对称性和异常抵消的一致性。
• 证明允许的大规范变换与标准2+1D QED3不同：仅允许$\theta_2 \sim \theta_2 + 4\pi$，而$\theta_1 \sim \theta_1 + 2\pi$被保留，这是由于三维实心环面的拓扑结构所致。

实验结果

研究问题

• RQ1 粒子-涡旋对偶性如何从玻色子系统扩展至费米子系统，特别是针对二维狄拉克费米子？
• RQ2 在体相电-磁对偶性下，三维拓扑绝缘体表面狄拉克锥的双重描述是什么？
• RQ3 双重理论如何解决与时间反演对称性和宇称异常相关的异常问题？
• RQ4 从电子自由度的角度出发，双重费米子$\psi_{cf}$的物理意义是什么？
• RQ5 与标准2+1D QED3相比，双重QED3理论中的大规范变换有何不同？其物理起源是什么？

主要发现

• 双重理论是一个QED3，其中单个狄拉克费米子与一个涌现规范场$a_\mu$耦合，其描述的希尔伯特空间与原始狄拉克锥完全一致。
• 电子产生算符$\Psi_e$映射为引入双重理论中$4\pi$通量的双单极子算符，与电荷量子化一致。
• 双重费米子$\psi_{cf}$被识别为束缚于电子的复合涡旋，具有$2hc/e$通量，且在时间反演下变换为$T:\psi_{cf} \to \psi_{cf}^\dagger$。
• T-Pfaffian拓扑序作为双重费米子的成对超流态自然出现，为三维拓扑绝缘体表面拓扑序提供了显微图像。
• 允许的大规范变换受到限制：仅允许$\theta_2 \to \theta_2 + 4\pi$，而$\theta_1 \to \theta_1 + 2\pi$被保留，从而确保与时间反演对称性和异常抵消的一致性。
• 该限制源于三维实心环面的体拓扑结构，其中$y$-循环可缩，而$x$-循环不可缩，当$\theta_2$绕行$2\pi$时，导致任意子数$N_D = -1/2$为非整数，使系统无法返回初始状态。