[论文解读] Path-dependent processes from signatures

Eduardo Abi Jaber, Louis-Amand Gérard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2024

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文通过时间增强布朗运动的路径签名，为随机路径相关积分方程（如伏尔泰拉方程和时滞方程）的解提供了显式的级数展开。通过将解表示为时变系数与签名过程之间的内积，该框架揭示了无限维马尔可夫结构，并实现了简单且收敛的近似方案，关键应用包括无需蒙特卡洛模拟即可计算条件与无条件矩。

ABSTRACT

We provide explicit series expansions to certain stochastic path-dependent integral equations in terms of the path signature of the time augmented driving Brownian motion. Our framework encompasses a large class of stochastic linear Volterra and delay equations and in particular the fractional Brownian motion with a Hurst index H in (0, 1). Our expressions allow to disentangle an infinite dimensional Markovian structure and open the door to straightforward and simple approximation schemes, that we illustrate numerically.

研究动机与目标

• 为随机路径相关积分方程的解提供显式且收敛的级数表示。
• 利用时间增强布朗运动的路径签名，解耦非马尔可夫过程中固有的无限维马尔可夫结构。
• 在无需蒙特卡洛模拟的前提下，实现伏尔泰拉过程和时滞过程的条件与无条件矩的高效数值计算。
• 基于卷积积与签名理论，建立求解线性随机方程的严格代数框架。

提出的方法

• 将解 $ X_t $ 表示为内积 $ \langle \ell_t, \widehat{W}_t \rangle $，其中 $ \ell_t $ 为时变系数序列，$ \widehat{W}_t $ 为时间增强布朗运动 $ (t, W_t) $ 的签名。
• 在张量代数中通过代数方程表述解：$ \ell = p + \ell q $，其中 $ p = x\emptyset + a\mathbf{1} + \alpha\mathbf{2} $，$ q = b\mathbf{1} + \beta\mathbf{2} $，解为 $ \ell = p(\emptyset - q)^{-1} = p \sum_{n \geq 0} q^{\otimes n} $。
• 利用基于 $ p $ 和 $ q $ 的卷积指数的控制准则，证明无限级数 $ \langle \ell_t, \widehat{W}_t \rangle $ 的收敛性，确保其定义良好并具有伊藤过程性质。
• 推导签名元素无限线性组合的伊藤公式，使该级数表示的随机微积分成为可能。
• 利用卷积积与矩估计控制签名分量的矩，证明在Essen范数下收敛。
• 将该框架应用于推导伏尔泰拉和时滞过程的条件与无条件矩的显式级数，包括 $ H \in (0,1) $ 的分数布朗运动。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般随机路径相关积分方程的解能否表示为驱动布朗运动签名的无限级数？
• RQ2 如何利用路径签名解耦非马尔可夫过程中固有的无限维马尔可夫结构？
• RQ3 何种条件可确保基于签名的级数展开在随机伏尔泰拉和时滞方程解中的收敛性？
• RQ4 能否为这些过程的条件与无条件矩推导出显式且可计算的级数表示？
• RQ5 该框架如何推广至奇异核，如分数布朗运动中的核？

主要发现

• 线性伏尔泰拉和时滞方程的解 $ X_t $ 表示为 $ X_t = \langle \ell_t, \widehat{W}_t \rangle $，其中 $ \ell_t $ 为从方程系数代数导出的时变系数序列。
• 对于光滑核，系数序列 $ \ell $ 为时不变，对应于形式上的路径相关泰勒展开，且已证明其收敛性。
• 对于奇异核（如 $ H \in (0,1) $ 的分数布朗运动），推导出时变表示，其中 $ \ell_t^{\text{OU}} = e^{\sqcup\sqcup -\kappa(t\emptyset - \mathbf{1})} $，即卷积指数。
• 通过控制于卷积指数的可处理收敛准则得以建立，确保级数 $ \langle \ell_t, \widehat{W}_t \rangle $ 定义良好且为伊藤过程。
• 推导出条件与无条件矩的显式级数表示，实现无需蒙特卡洛模拟的高效数值计算。
• 该框架适用于广泛的过程类别，包括黎曼-刘维尔分数布朗运动与一般高斯伏尔泰拉过程，其矩界通过卷积积上的组合估计推导得出。