[论文解读] Path integral representation for the Hubbard model with reduced number of Lefschetz thimbles

Maksim Ulybyshev, S. N. Valgushev|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 4被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种基于非高斯 Hubbard-Stratonovich 变换的 Hubbard 模型路径积分表述，通过减少相关 Lefschetz 柱面的数量，缓解了符号问题。通过调节实与复辅助场之间混合参数 α，作者在接近半满时仅得到两个主导柱面，显著提升了小晶格上无符号问题的量子蒙特卡洛模拟的可行性。

ABSTRACT

The concept of Lefschetz thimble decomposition is one of the most promising possible modifications of Quantum Monte Carlo (QMC) algorithms aimed at alleviating the sign problem which appears in many interesting physical situations, e.g. in the Hubbard model away from half filling. In this approach one utilizes the fact that the integral over real variables with an integrand containing a complex fluctuating phase is equivalent to the sum of integrals over special manifolds in complex space ("Lefschetz thimbles"), each of them having a fixed complex phase factor. Thus, the sign problem can be reduced if the resulting sum contains terms with only a few different phases. We explore the complexity of the sign problem for the few-site Hubbard model on square lattice combining a semi-analytical study of saddle points and thimbles in small lattices with several steps in Euclidean time with results of test QMC calculations. We check different variants of conventional Hubbard-Stratonovich transformation based on Gaussian integrals. On the basis of our analysis we reveal a regime with minimal number of relevant thimbles in the vicinity of half filling. In this regime we found only two relevant thimbles for the few-site lattices studied in the paper. There is also indirect evidence of the existence of this regime in more realistic systems with large number of Euclidean time slices. In addition, we derive a new non-Gaussian representation of the interaction term, where the number of relevant Lefschetz is also reduced in comparison with conventional Gaussian Hubbard-Stratonovich transformation.

研究动机与目标

• 解决 Hubbard 模型在远离半满时确定性量子蒙特卡洛模拟中持续存在的符号问题。
• 减少路径积分表述中相关 Lefschetz 柱面的数量，从而直接影响符号问题的严重程度。
• 探索替代的 Hubbard-Stratonovich 表述方式——尤其是非高斯形式——以最小化柱面贡献并改善算法采样性能。
• 识别通过在作用量中最优混合实与复辅助场指数，可使符号问题得到缓解的参数区域。
• 分析在连续辅助场模拟中，零费米子行列式场配置引发的遍历性与统计挑战。

提出的方法

• 对小晶格（Ns=1,2,4）在 Nt=1,2,3 个欧几里得时间片下，采用半解析的鞍点分析与柱面分解方法。
• 比较两种高斯 Hubbard-Stratonovich 变体：一种仅在费米子行列式中使用实指数，另一种使用复指数。
• 引入一种受 BSS-QMC 启发的新非高斯相互作用项积分表示，减少柱面数量。
• 使用全纯流与广义柱面方法，在无需事先知道鞍点的情况下近似 Lefschetz 柱面。
• 应用 HMC 模拟以检验柱面的相关性，并评估不同参数区域下的相位涨落与遍历性。
• 分析零费米子行列式时流形的维度，以评估采样困难与统计误差行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用替代 Hubbard-Stratonovich 表述时，Hubbard 模型中可实现的最少相关 Lefschetz 柱面数量是多少？
• RQ2 在辅助场作用量中混合实与复指数，如何影响贡献柱面的数量与相位涨落？
• RQ3 与传统的高斯 HS 变换相比，非高斯相互作用项表示能否减少相关柱面的数量？
• RQ4 零费米子行列式场配置在 HMC 模拟中如何破坏遍历性并扭曲误差估计？
• RQ5 在接近半满时是否存在仅两个柱面占主导的区域，从而导致更温和的符号问题？

主要发现

• 在接近半满时，所有研究的小体系（Ns=1,2,4）中相关 Lefschetz 柱面数量最小化为仅两个，表明这是缓解符号问题的有利区域。
• 实与复指数混合（α≈0.9）的参数区域柱面数量最少且相位涨落最小，优于纯实或纯复指数情况。
• 非高斯相互作用项表示仅维持有限数量的相关柱面，且在中等化学势下，零辅助场处的真空鞍点始终占主导。
• 在零化学势时为实的鞍点随 μ 增大而进入复平面，但其虚部作用量保持为零，从而在各自柱面上保持相位恒定。
• 在混合区域中，零行列式场配置形成维度为 N−2 的流形，相比纯实或纯复极限下的 N−1 维流形，显著降低了遍历性问题。
• 零行列式流形的存在导致可观测量呈现重尾分布，需谨慎进行统计后处理，因其二阶矩未定义。