[论文解读] Pattern Recognition on Oriented Matroids: Layers of Tope Committees

Andrey O. Matveev|ArXiv.org|Dec 13, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于简单定向拟阵中顶点委员会的组合框架，用于模式识别，其中委员会是最大余向量（顶点）的子集，使得每个正半空间包含其成员的过半。关键贡献是利用法雷子序列和源自布尔格与正则多面体偏序集的关联方案，对这些委员会进行了结构表征，特别是将布尔格的第 $m$ 层与法雷序列 $\mathcal{F}(\mathbb{B}(2m), m)$ 联系起来。

ABSTRACT

A tope committee K* for a simple oriented matroid M is a subset of its maximal covectors such that every positive halfspace of M contains more than half of the covectors from K*. The structures of the family of all committees for M, and of the family of its committees that contain no pairs of opposites, are described. A Farey subsequence associated with the elements of the m-th layer of the Boolean lattice of rank 2m is explored.

研究动机与目标

• 为一个简单且非无环的定向拟阵，表征其所有顶点委员会的家族。
• 描述不包含任何一对相反顶点的顶点委员会的子家族。
• 建立这些委员会的组合结构与法雷序列特定子序列之间的联系。
• 利用正则多面体面格的关联方案建模委员会结构。
• 在定向拟阵上的模式识别与秩为 $2m$ 的布尔格的第 $m$ 层组合学之间建立正式联系。

提出的方法

• 将顶点委员会定义为最大余向量集合 $\mathcal{K}^* \subset \mathcal{T}$，使得对所有 $e \in E_t$，满足 $|\mathcal{K}^* \cap \mathcal{T}_e^+| > |\mathcal{K}^*|/2$。
• 使用偏序集 $\mathbf{O}(m)$（即 $\pm[1,m]$ 的子集，不含相反对，按包含关系排序，并添加一个最大元 $\hat{1}$）来建模委员会结构。
• 基于秩差 $\partial(x,y) = d - \rho(x \wedge y)$，在 $\boldsymbol{X} = \mathbf{O}(m)^{(d)}$ 上构造一个划分 $\boldsymbol{\mathcal{R}} = (\boldsymbol{R}_0, \dots, \boldsymbol{R}_d)$。
• 在 $\boldsymbol{X} = \{-1,1\}^m$ 上定义关联方案 $\mathbf{H}(m,2)$，其中关系 $\boldsymbol{R}_i$ 计数汉明距离，并证明其参数与 $m$-立方体一致。
• 将布尔格 $\mathbb{B}(|\mathcal{T}|)$ 的 $\frac{|\mathcal{T}|}{2}$-层与法雷子序列 $\mathcal{F}(\mathbb{B}(2m), m)$ 关联，该子序列继承自标准法雷序列的性质。
• 证明避免相反顶点的委员会家族构成一个偏序集 $\mathbf{I}_{1/2}(\mathbf{O}'(\mathcal{T}), \Upsilon)$，即关联方案中 $\frac{1}{2}$-阻断元素的集合，其参数与 $\frac{|\mathcal{T}|}{2}$-立方体 $\mathbf{H}(\frac{|\mathcal{T}|}{2}, 2)$ 一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对简单定向拟阵中所有顶点委员会的家族进行结构表征？
• RQ2 不包含任何一对相反顶点的顶点委员会子家族的组合性质是什么？
• RQ3 秩为 $2m$ 的布尔格的第 $m$ 层如何与法雷子序列 $\mathcal{F}(\mathbb{B}(2m), m)$ 相关联？
• RQ4 关联方案（特别是汉明方案 $\mathbf{H}(m,2)$）在建模顶点委员会中起什么作用？
• RQ5 正则多面体 $\mathbf{O}(m)$ 的面格结构如何与定向拟阵上模式识别的委员会决策规则相关联？

主要发现

• 对于一个简单且非无环的定向拟阵 $\mathcal{M}$，其所有顶点委员会 $\mathbf{K}^*(\mathcal{M})$ 的家族非空，并通过法雷子序列实现结构表征。
• 不包含相反对的委员会子家族 $\overset{\circ}{\mathbf{K}}{}^*(\mathcal{M})$ 同构于关联方案中 $\frac{1}{2}$-阻断元素的偏序集 $\mathbf{I}_{1/2}(\mathbf{O}'(\mathcal{T}), \Upsilon)$。
• 布尔格 $\mathbb{B}(2m)$ 的第 $m$ 层生成一个法雷子序列 $\mathcal{F}(\mathbb{B}(2m), m)$，其继承自标准法雷序列 $\mathcal{F}_n$ 的组合与集合论性质。
• 在 $\mathbf{O}(\mathcal{T})$ 的 $\frac{|\mathcal{T}|}{2}$-层上，关联方案的参数与汉明方案 $\mathbf{H}(\frac{|\mathcal{T}|}{2}, 2)$ 一致，其交数为 $\mathtt{p}_{ij}^k = \binom{m-k}{(i+j-k)/2}\binom{k}{(i-j+k)/2}$，当 $i+j+k$ 为偶数时成立。
• 满足 $s \in V \Rightarrow -s \not\in V$ 的 $d$-子集 $V \subset \pm[1,m]$ 的数量为 $\binom{m}{d}2^d$，这给出了 $\mathbf{O}(m)$ 的第二类威特尼数。
• 对于任意 $x \in \boldsymbol{X} = \mathbf{O}(m)^{(d)}$，满足 $\partial(z,x) = i$ 的元素 $z$ 的数量为 $\mathtt{n}_i = \binom{d}{i} \sum_{c=0}^i \binom{i}{c} \binom{m-d}{c} 2^c$。