[论文解读] Patterns in Inversion Sequences II: Inversion Sequences Avoiding Triples of Relations

Megan A. Martinez, Carla D. Savage|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文提出了一种研究置换序列中模式避免的新型框架，通过将传统的3字母词替换为三元组的二元关系（ρ₁, ρ₂, ρ₃），实现了对单调性、单峰性以及元素重数约束等组合性质更富表达力的刻画。主要贡献在于系统枚举了343组关系三元组，揭示了Wilf等价类，并将避免特定模式的置换序列与斐波那契数、贝尔数和欧拉数等著名组合序列联系起来。

ABSTRACT

Inversion sequences of length $n$, $\mathbf{I}_n$, are integer sequences $(e_1, \ldots, e_n)$ with $0 \leq e_i < n$ for each $i$. The study of patterns in inversion sequences was initiated recently by Mansour-Shattuck and Corteel-Martinez-Savage-Weselcouch through a systematic study of inversion sequences avoiding words of length 3. We continue this investigation by generalizing the notion of a pattern to a fixed triple of binary relations $(ρ_1,ρ_2,ρ_3)$ and consider the set $\mathbf{I}_n(ρ_1,ρ_2,ρ_3)$ consisting of those $e \in \mathbf{I}_n$ with no $i < j < k$ such that $e_i ρ_1 e_j$, $e_j ρ_2 e_k$, and $e_i ρ_3 e_k$. We show that "avoiding a triple of relations" can characterize inversion sequences with a variety of monotonicity or unimodality conditions, or with multiplicity constraints on the elements. We uncover several interesting enumeration results and relate pattern avoiding inversion sequences to familiar combinatorial families. We highlight open questions about the relationship between pattern avoiding inversion sequences and families such as plane permutations and Baxter permutations. For several combinatorial sequences, pattern avoiding inversion sequences provide a simpler interpretation than otherwise known.

研究动机与目标

• 将置换序列中模式避免的概念从3字母词推广至二元关系三元组。
• 利用关系三元组刻画具有单调性、单峰性或重数约束的置换序列。
• 枚举避免特定关系三元组的置换序列，并识别Wilf等价类。
• 建立避免特定模式的置换序列与经典组合家族（如斐波那契数、贝尔数和施罗德数）之间的联系。
• 突出剩余避免集合在Wilf等价性和计数方面的开放问题。

提出的方法

• 将模式避免从3字母词 w₁w₂w₃ 重构为三元组二元关系 (ρ₁, ρ₂, ρ₃)，其中对于任意 i < j < k，eᵢρ₁eⱼ、eⱼρ₂eₖ 和 eᵢρ₃eₖ 不能同时成立。
• 将避免集合 Iₙ(ρ₁, ρ₂, ρ₃) 定义为长度为 n 且不包含满足上述关系的三元组的置换序列集合。
• 系统分析来自集合 {<, >, ≤, ≥, =, ≠, −}³ 的全部 343 组可能的关系三元组，其中'−' 表示全关系。
• 利用双射（如 α 和 β）证明非等价模式之间的Wilf等价性，特别是针对避免 010、100、120 和 201 的情形。
• 通过直接枚举与结构分析，将避免集合与已知组合序列关联，包括与排列和 s-置换序列的关系。
• 借助在线整数数列百科全书（OEIS）及计算工具 PermLab 验证并发现数列。

实验结果

研究问题

• RQ1 关系三元组 (ρ₁, ρ₂, ρ₃) 的避免是否能刻画具有特定单调性或单峰性性质的置换序列？
• RQ2 是否存在非等价模式 (ρ₁, ρ₂, ρ₃) 之间存在Wilf等价性，即产生相同的计数序列？
• RQ3 避免关系三元组的置换序列是否能提供比已知的避免模式排列实现更简单的组合解释？
• RQ4 是否存在避免特定模式的置换序列与经典组合对象（如Baxter排列或符号排列）之间的双射？
• RQ5 能否为剩余的开放情形（如 Iₙ(010)、Iₙ(100)、Iₙ(120) 和 Iₙ(201)）推导出计数公式？

主要发现

• 本文识别出 98 个等价类，并推测在 343 组可能的关系三元组中存在 63 个Wilf等价类。
• 避免集合 Iₙ(≥, ≥, ≥) 对应于不包含长度为 3 的非增子序列的置换序列，等价于避免 {000, 100, 110, 210}。
• 模式 (−, ≠, ≥) 与 (≠, −, ≥) 是Wilf等价的，前者避免集合 {110, 210, 120, 201, 010}，后者避免集合 {100, 210, 120, 201, 010}。
• 双射 α 保持 010-避免、120-避免和 201-避免性质，从而证明了 (−, ≠, ≥) 与 (≠, −, ≥) 之间的Wilf等价性。
• 本文证明了 Iₙ(021) = Iₙ(<, >, <) 和 Iₙ(010) = Iₙ(<, >, =) 与已知序列（包括欧拉上下数和贝尔数）相关联。
• 仍存在若干开放问题，包括 Iₙ(>, −, >) 是否与 Sₙ(4231, 42513) 等势，以及 Iₙ(=, ≥, −) 是否与贝尔数等势。