[论文解读] Percolation Perturbations in Potential Theory and Random Walks

Itaï Benjamini, Russell Lyons+1 more|ArXiv.org|Apr 2, 1998

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 35被引用 48

一句话总结

本文证明，在非阿贝尔Cayley图上，伯努利渗滤的无限簇几乎必然支持具有正速度的瞬时简单随机游走，并存在有界调和函数。关键贡献在于证明了无限簇内存在保持正等周常数的不变随机子图，这一结果支撑了关于渗滤簇中瞬时性、速度和调和函数的所有主要结论。

ABSTRACT

We show that on a Cayley graph of a nonamenable group, almost surely the infinite clusters of Bernoulli percolation are transient for simple random walk, that simple random walk on these clusters has positive speed, and that these clusters admit bounded harmonic functions. A principal new finding on which these results are based is that such clusters admit invariant random subgraphs with positive isoperimetric constant. We also show that percolation clusters in any amenable Cayley graph almost surely admit no nonconstant harmonic Dirichlet functions. Conversely, on a Cayley graph admitting nonconstant harmonic Dirichlet functions, almost surely the infinite clusters of $p$-Bernoulli percolation also have nonconstant harmonic Dirichlet functions when $p$ is sufficiently close to 1. Many conjectures and questions are presented.

研究动机与目标

• 研究Cayley图的基本势论性质与随机游走性质在随机渗滤扰动下是否保持不变。
• 确定非阿贝尔群上的无限渗滤簇是否继承瞬时性、正速度以及有界调和函数的存在性。
• 探讨几何与解析性质（尤其是等周常数）在随机边删除过程下的稳定性。
• 研究可约性在决定渗滤簇上是否存在非平凡调和Dirichlet函数中的作用。
• 引入并分析锚定扩张常数作为标准等周常数在随机扰动下更稳定的替代量。

提出的方法

• 证明在非阿贝尔Cayley图上，无限渗滤簇几乎必然包含具有正等周常数的不变随机子图（定理3.9）。
• 利用此类子图的存在性，推导出无限簇上简单随机游走的瞬时性与正速度（定理4.4）。
• 应用离散型Cheeger不等式与谱半径估计，将等周性质与随机游走行为联系起来。
• 引入锚定扩张常数 $\iota_E^*(G)$ 作为在随机扰动下可能保持不变的几何不变量。
• 构造反例并分析Galton-Watson树与扰动正则树上的渗滤，以检验等周与速度性质的稳定性。
• 使用耦合及类似耦合的论证方法，将渗滤簇与确定性子图进行比较，以建立几乎必然性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非阿贝尔Cayley图上，$p$-伯努利渗滤的无限簇是否支持瞬时简单随机游走？
• RQ2 在非阿贝尔Cayley图上，无限渗滤簇上简单随机游走的速度是否几乎必然为正？
• RQ3 在非阿贝尔群上，无限渗滤簇是否允许存在非平凡有界调和函数？
• RQ4 超临界渗滤簇在 $\mathbb{Z}^d$ 中的等周维数是否可任意接近 $d$？
• RQ5 在随机路径替换或伯努利渗滤等随机扰动下，锚定扩张常数 $\iota_E^*(G)$ 是否仍保持为正？

主要发现

• 在非阿贝尔Cayley图上，$p$-伯努利渗滤的几乎所有无限簇均包含具有正等周常数的不变随机子图。
• 在非阿贝尔Cayley图上，$p$-伯努利渗滤的无限簇上，简单随机游走的正速度几乎必然成立。
• 由于存在正等周子图，非阿贝尔Cayley图上的无限簇对简单随机游走是瞬时的。
• 在可约Cayley图上，无限簇几乎必然不包含非平凡调和Dirichlet函数。
• 在存在非平凡调和Dirichlet函数的Cayley图上，当 $p$ 足够接近1时，此类函数在无限渗滤簇上也存在。
• 锚定扩张常数 $\iota_E^*(G)$ 在随机扰动（如随机路径替换或渗滤）下比标准等周常数更稳定。