[论文解读] Perfect hedging in rough Heston models

Omar El Euch, Mathieu Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文证明了在粗糙赫斯顿模型中，通过由标的资产和远期波动率曲线组成的显式投资组合，理论上可实现完美对冲。通过引入时变均值回归水平并结合点过程（Hawkes process）的特征函数分析，作者推导出衍生品收益条件数学期望的半闭式解，证明尽管模型具有非马尔可夫动态，远期波动率曲线仍能完全捕捉模型的状态空间。

ABSTRACT

Rough volatility models are known to reproduce the behavior of historical volatility data while at the same time fitting the volatility surface remarkably well, with very few parameters. However, managing the risks of derivatives under rough volatility can be intricate since the dynamics involve fractional Brownian motion. We show in this paper that surprisingly enough, explicit hedging strategies can be obtained in the case of rough Heston models. The replicating portfolios contain the underlying asset and the forward variance curve, and lead to perfect hedging (at least theoretically). From a probabilistic point of view, our study enables us to disentangle the infinite-dimensional Markovian structure associated to rough volatility models.

研究动机与目标

• 解决粗糙赫斯顿模型中衍生品定价与对冲的挑战，该模型具有非马尔可夫性并涉及分数布朗运动。
• 识别出完全决定粗糙赫斯顿模型未来收益值条件分布的最小状态变量集合。
• 利用扩展特征函数，为衍生品收益的条件期望推导出半闭式解。
• 证明通过包含标的资产与远期波动率曲线的显式投资组合，理论上可实现完美对冲。

提出的方法

• 引入具有时变均值回归水平的广义粗糙赫斯顿模型，以在条件上保持类似马尔可夫的结构。
• 利用霍克斯过程对跳跃的分支结构进行建模，并推导复参数下的对数价格扩展特征函数。
• 应用带有黎曼-刘维尔算子的分数阶Riccati方程来刻画特征函数，以分数阶导数替代经典导数。
• 通过Galton-Watson分支过程建立可积性条件，确保特征函数推导中指数矩的收敛性。
• 利用霍克斯过程的分支结构分解强度过程，并推导出特征函数的递归积分方程。
• 证明对数价格的条件分布仅依赖于当前标的资产价格与远期波动率曲线，从而实现完美复制。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管粗糙赫斯顿模型具有非马尔可夫性与非半鞅结构，是否仍可推导出显式对冲策略？
• RQ2 在粗糙赫斯顿模型中，完全决定未来衍生品收益条件分布的最小状态变量集合是什么？
• RQ3 远期波动率曲线（定义为未来波动率的条件期望）是否可作为定价与对冲的充分统计量？
• RQ4 能否利用分数阶微积分在粗糙赫斯顿模型中获得对数价格特征函数的半闭式解？
• RQ5 在何种条件下，对数价格的扩展特征函数保持可积性，从而支持条件期望的推导？

主要发现

• 当均值回归水平被替换为时变函数时，粗糙赫斯顿模型中对数价格的条件分布仍保持为粗糙赫斯顿分布。
• 远期波动率曲线 $ ( ext{E}[V_{s+t}|ancyscript{F}_t])_{s eq 0} $ 足以确定任意衍生品收益的条件期望。
• 通过涉及黎曼-刘维尔分数阶导数与积分的分数阶Riccati方程，推导出对数价格特征函数的半闭式解。
• 在条件 $ a eq ext{int}_0^t ho - 1 - ext{log}( ext{int}_0^t ho) $ 下，扩展特征函数 $ ext{E}[ ext{exp}(z ext{log}(S_t/S_0))] $ 对复数 $ z = a + ib $ 是良定义的，确保了可积性。
• 通过由标的资产与远期波动率曲线组成的投资组合，理论上可实现完美对冲，且无复制误差。
• 利用霍克斯过程及其分支结构，可推导出矩生成函数，并确保特征函数分析中关键指数矩的收敛性。