[论文解读] Period integrals of local complete intersections and tautological systems

An Huang, Bong H. Lian+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文将塔托逻辑系统——即Fano流形中局部完备交的周期积分的Picard-Fuchs型微分系统——推广至更一般情形，将完备交的正则性与整体性准则扩展至向量丛截面的零点集。通过李代数同调与 perverse 她层，建立了解的秩公式，并在对数同调流形中通过链积分实现了解的几何构造，关键结果表明解的秩与补空间的相对同调群密切相关。

ABSTRACT

Tautological systems developed in [6],[7] are Picard-Fuchs type systems to study period integrals of complete intersections in Fano varieties. We generalize tautological systems to local complete intersections, which are zero loci of global sections of vector bundles over Fano varieties. In particular, we obtain similar criterion as [6, 7] about holonomicity and regularity of the system. We also prove solution rank formulas and geometric realizations of solutions following the work of hypersurfaces [5, 4].

研究动机与目标

• 将塔托逻辑系统从Fano流形中的完备交推广至由Fano流形上向量丛全局截面的零点集定义的局部完备交。
• 为这些推广后的塔托逻辑系统建立整体性与正则性准则，其形式与先前关于完备交工作的结果类似。
• 利用李代数同调、perversé sheaves 及不可约齐性向量丛推导解的秩公式。
• 将塔托逻辑系统的解几何实现为零点集补集上循环的有理微分形式的周期积分。
• 提出并支持一个猜想，将解层与全空间减去完备交的相对同调联系起来。

提出的方法

• 通过Calabi-Yau丛构造将丛结构上拉至主丛，从而将塔托逻辑系统推广至局部完备交。
• 在主丛上应用邻接公式，定义典范全纯最高次微分式与留数映射，以构造周期积分。
• 利用李代数同调与perversé sheaf描述计算塔托逻辑系统的解的秩。
• 引入对数同调流形中的链积分，通过余除数的补集的相对同调描述解层。
• 利用齐性 $G$-流形与 $G$-等变作用的结构，推导解层与上同调群之间的同构。
• 通过分析射影化丛 $\mathbb{P}(E^\vee)$ 中零点集补集的上同调，推导出解的秩公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将塔托逻辑系统从完备交推广至Fano流形上由向量丛截面定义的局部完备交？
• RQ2 在何种条件下可保证推广后塔托逻辑系统在局部完备交上的整体性与正则性？
• RQ3 如何通过几何不变量（如同调群）计算塔托逻辑系统解的秩？
• RQ4 解的几何实现作为周期积分是什么形式？它们与零点集补集上循环的有理微分形式有何关系？
• RQ5 是否存在解层与全空间减去完备交的相对同调之间的自然同构？

主要发现

• 在与先前完备交工作相同的条件下，局部完备交的推广塔托逻辑系统是整体且正则的。
• 当 $\beta(\mathfrak{g}) = 0$ 且 $X$ 为齐性 $G$-流形时，点 $b \in V^\vee$ 处的解的秩为 $\dim H_{n+r-1}(X - Y_b)$。
• 对于齐性或 торic 流形中的完备交，且 $\beta(\tilde{\mathfrak{g}}) = 0$，解的秩同构于 $H_{n+r-1}(\mathbb{P} - \tilde{Y}_b, (\mathbb{P} - \tilde{Y}_b) \cap (\cup D_i))$。
• 提出一个猜想：解层同构于 $H_n(X - (Y_1 \cup \cdots \cup Y_r))$，将解与相对同调联系起来。
• 在对数同调流形中，$\tau_{VW}$ 的解的秩同构于 $H_n(X - Y_a, (X - Y_a) \cap (\cup D))$，且该同构通过周期积分实现。
• 本文建立了在对数同调流形中通过链积分实现解的几何构造，推广了先前关于超曲面的结果。